平面自相似集的迭代函数系

研究产生欧氏空间自相似集的所有迭代函数系，是分形几何学中一个基础而又重要的问题。对直线上满足一定条件的自相似集，已有一些研究成果。由于高维欧氏空间的自相似映射涉及旋转或反射，从而使问题的研究变得复杂和困难，因此少有文献涉及高维欧氏空间自相似集的所有迭代函数系。本项目聚焦于平面，拟研究（1）满足开集条件的平面自相似集的所有迭代函数系族的代数结构；（2）上述结构具有最小生成迭代函数系的条件；（3）平面自相似集与其拷贝交（并）的几何结构、局部性态等。项目的研究内容是国际上近期热门的方向，属于分形论、几何测度论、群论等的交叉研究领域。

透彻研究产生欧氏空间自相似集的所有迭代函数系，是分形几何中一个基础而重要的问题。由于高维空间的自相似映射涉及旋转和反射，使得该问题的研究变得复杂和困难。我们就上述问题展开了多方面的研究，主要结果如下：..（1）关于满足强分离条件的直线自相似集的笛卡尔积。证明了当其为平面自相似集时，任一迭代函数系里正交矩阵至多具有8种形式。创新性在于：把研究正交矩阵的形式转化为看似无关的代数数论问题，即考察代数数cos⁡(2π/l)与sin(2π/l)的关系。.（2）关于满足一定分离条件的任意维欧氏空间里的自相似集。证明了其迭代函数系族构成的半群可有限生成。由于欧氏空间的维数不限制且迭代函数系线性部分允许不同，该结果适用范围十分广泛。.（3）首次得到一类具有完全重叠结构的直线自相似集的迭代函数系。并举例说明存在满足强分离条件的自相似集，它包含具有完全重叠结构的自相似子集。.（4）给出了确定Koch曲线及类似自相似集所有迭代函数系的一个简单几何法。