多元极端风险尾相依性状的研究

Extreme risks are risks of low probability, but of high destruction, such as flooding in hundred years, earthquake, financial storm, Terrorist attacks and etc. Recent researches have shown that extreme risks are not only multi-dimensional, but also have some dependency structure. The wrong estimation of dependency structure among extreme risks would cause huge losses. Therefore, correct understanding of the dependency structure is the prerequisite to effective control and management of extreme risk. This project is aimed at modeling and analyzing the dependency behavior of extreme risks by using Extreme value theory, Extreme-copula and Stochastic Comparison theory. Three aspects are discussed to recognize, compare and measure the dependency structure of extreme risks, including the dependency, dependency order and dependent risk measures. Thus, we can provide theoretical basis for the effective control and management of the dependent extreme risk. Here, we study the dependency by developing and improving hidden regular variation theory and tail dependency theory. And we study the dependency order by two parts: one is to describe the relationship theoretically between the spectral measure values of dispersion degree and tail dependence degree, and the other is to discuss the optimal portfolio strategy of extreme risk in finance and insurance science. Different risk measures for aggregate extreme risks are then discussed according to different dependency structures and dependency.

诸如百年不遇的洪水、地震、金融风暴和恐怖袭击等，这些“低可能性、高破坏性”的风险是极端风险。最近的研究显示，极端风险不仅是多维的，还往往具有某种相依结构。错误估计极端风险的相依结构可能会造成巨大的损失。因此，正确认识极端风险的相依结构是有效控制和管理极端风险的前提条件。本项目通过对极值理论、极值Copula和随机比较理论的综合运用，从相依性、相依序和相依风险度量三个层面，分别讨论极端风险间相依结构的识别、比较和聚合相依风险的风险度量，从而为相依极端风险的有效控制和管理提供理论依据。其中，相依性层面的研究是通过发展和完善隐正则变差理论、尾相依理论实现的；相依序层面的研究一方面从理论上精细刻画谱测度取值的分散程度与尾相依程度的关系，另一方面讨论极端风险组合在金融、保险中的最优策略；相依风险度量层面的研究讨论了不同相依性、不同相依结构下的极端风险，在不同风险度量下，聚合极端风险的风险度量。

本项目旨在通过对极值理论、极值Copula理论和随机比较理论的综合运用，研究（聚合）相依风险的随机比较、（聚合）相依极端风险的随机比较、广义聚合相依风险的随机比较，并探讨了基于家系病变风险的关联分析，从而为相依（极端）风险的有效控制和管理提供理论依据。具体地，（1）对于（聚合）相依风险的随机比较，我们讨论了随机置换增的聚合风险分别在普通随机序、单调增凸序意义下的大小关系，并成功运用到最优资产的分配问题中；采用不同的证明框架，得到了独立不同分布的聚合风险在峰度序意义下的随机比较，并成功运用到二维随机置换增的聚合风险的随机比较中。这为相依聚合风险基于峰度序的随机比较提供了途径。 （2）对于（聚合）相依极端风险的随机比较，我们首次完整地给出了服从椭球分布族的两个随机变量（向量、 过程）满足凸序的充要条件以及单调增凸序的充分或必要条件，并将主要结论应用到随机置换增的椭球分布族的随机变量线性和的随机比较中。我们证明了椭球分布族的凸序与线性凸序是等价的，这一成果为降低海量重尾数据的维度奠定了理论基石。（3）对于广义聚合相依风险在单增凸序下的随机比较，我们详细讨论了这一结论在k-out-of-n 系统的可靠性、受相依损失攻的系统的可靠性、保险自付额度和保险额度中的应用。（4）关于家系数据的病变风险研究，关联性分析是寻找疾病易感基因的主要工具，其关键问题是如何提高统计检验的功效。我们提出了基于贝叶斯因子的传递不平衡检验，模拟结果显示，我们的方法是目前最有效的方法之一。