多辛保结构变分数值方法及非标准有限差分方法在其上的应用

Multisymplectic partial differential equations widely exist in many physical systems for example mechanics and electromagnetics systems etc. Multisymplectic geometric structure is an intrinsic structure of multisymplectic system. The numerical methods which can preserve the multisymplectic structure of the original system always perform well and they can preserve quantitative and qualitative numerical characteristics. This project mainly research on the equivalency of Hamilton multisymplectic numerical methods and Lagrange variational integrators, study the problems in multisymplectic systems by combining advantages of the two kinds of methods. Then we apply the ideas of nonstandard finite difference methods to the construction of Lagrange variational integrators, take the advantage the nonstandard finite difference methods to derive the numerical methods which are more suitable for multisymplectic problems. Define discrete boundary Lagrangian to derive multisymplectic form formulas, make the energy and momentum error analysis and variational error analysis. The feasibility and advantages of these methods will be shown in the numerical experiments. For the problem that there’s no way to judge the multisymplectic methods from their different discrete multisymplectic structures, we try to define the optimal discrete structure to be one of yardsticks for multisymplectic numerical methods by comparing differential forms and the results in numerical experiments.

多辛偏微分方程广泛存在于力学、电磁学等众多物理系统中。多辛几何结构是多辛系统的内在结构，能够保持多辛结构的数值方法往往具有良好的数值表现，能够较好的保持定量定性的数值特性。本项目首先研究两类多辛数值方法（Hamilton多辛数值格式和Lagrange变分积分子）的等价关系，结合两类方法的优势研究多辛系统所存在的问题；然后将非标准有限差分方法的思想应用到Lagrange变分积分子的构造中，利用非标准有限差分的灵活性和优势，构造更适合多辛问题的数值方法；定义离散边界Lagrange函数推导变分积分子所保持的多辛形式公式、能量及动量守恒律等系统内在的几何结构和不变量，并通过数值实验验证和展示所构造方法的可行性和优势；针对无法从离散多辛结构去衡量多辛数值方法好坏的问题，通过引入非标准有限差分方法的变分积分子，对离散多辛结构的进行比较和实验，提出最优离散多辛结构以作为衡量多辛数值方法的标准之一。

多辛几何结构是多辛系统的内在结构，能够保持多辛结构的数值方法往往具有良好的数值表现，能够较好的保持定量定性的数值特性。本项目主要使用非标准有限差分方法的多辛变分积分子应用于实际问题中的Hamilton系统中，此类数值方法在保持原系统多辛结构的同时，较好的保持了原系统的定量守恒律和长时间的稳定性等特性。. 薛定谔类型的偏微分方程是物理量子力学中的经典方程，波色爱因斯坦凝聚态过程就是用薛定谔类型的偏微分方程表示。本项目主要研究成果是将含有非标准有限差分的多辛变分积分子求解薛定谔类型的偏微分方程，所得到的数值解可以保持原系统的多辛几何结构，且证明出其能保持的离散模方守恒、动量守恒、能量守恒等定量守恒律。. 基于非标准有限差分变分积分子保持Hamilton系统的多辛结构，能够较好的保持系统长时间的稳定性，将此方法应用于隶属于Hamilton方程的图像边界提取模型，提升了原有算法的计算精度，尤其是在处理大数量图像库时提高了计算效率和精确度。将多辛数值方法应用于图像边界提取中涉及到的Hamilton系统，拓展了图像边界模型算法的求解思路。. 通过本项目中的理论推导和实验过程可知，含有非标准有限差分方法的多辛变分积分子在求解Hamilton系统或Lagrange系统时是方便可行的，从Lagrange离散变分原理出发所构造的多辛变分积分子一定是保持辛结构的，其数值解具有长时间的稳定性，且能较好的保持原系统中其他的定量守恒律。.