张量的本原性、本原指数及张量与超图谱若干问题的研究

A tensor is a multidimensional array, or a hypermatrix. Since the intruduction of eigenvalues of tensors by Prof. Liqun Qi of Hong Kong Polytechnic University and Prof. Lek-Heng Lim of University of Chicago in 2005, the study of tensors and their various applications has attracted much attention and interest. we will combine the methods in algebra, graph theory and combinatorics, to study the following three research areas in tensors and the spectra of tensors and hypergraphs：(1) Primitivity of nonnegative tensors. We will study the properties and characterizations of primitive tensors and strong primitive tensors；(2) The primitive degree of primitive tensors. We will study the degree set of primitive tensors, the extremal primitive tensors and j-primitive degree；(3)Some problems of the spectra of tensors and hypergraphs. We will study the extremal problems of the spectra of some important classes of tensors and hypergraphs. By the above research, we expect to reveal the further properties of primitive tensors, determine the degree set of primitive tensors, solve the extremal primitive tensors completely or partially, obtain the graphic characterizations of j-primitive degree, solve some extremal problems of the spectra of some important classes of tensors and hypergraphs, and enhance or improve the primitive degree theory of tensors and the spectra theory of tensors and hypergraphs.

张量是一个高维阵列，或者说是一个超矩阵。自2005年香港理工大学祁力群教授和美国芝加哥大学林力行教授分别独立地提出张量特征值的概念以来，张量的理论和应用得到了国内外学者的广泛关注和研究。本项目拟综合运用代数方法、图论方法与组合方法，研究张量及其与超图谱的三个方面的问题：（1）非负张量的本原性，主要研究本原张量与强本原张量的性质与特征刻画问题；（2）本原张量的本原指数，主要研究本原张量的指数集、极张量和j-本原指数；（3）张量谱与超图谱的若干问题，主要研究若干类重要的张量与超图的一些谱极值问题。我们将试图通过对以上问题的研究，进一步揭示本原张量的性质，确定本原张量的本原指数集，完全或部分解决本原指数达到最大值的极张量刻画，给出j-本原指数的图论刻画，解决一些重要的张量类、超图类的若干谱极值问题，丰富或完善本原张量理论及张量与超图的谱理论。

张量与超图谱理论的研究是近十年来国内外学者们研究的一个热点，其二维情形（矩阵与图）是近二十年来研究的热点之一。 本项目综合运用代数方法、图论方法与组合方法，主要研究了如下几个问题：张量与超图的谱问题、图与有向图的谱问题、图的不变量与指数、图的结构、本原有向图的广义竞赛指数、不定方程与数论函数的问题，共发表36篇论文。这些问题的研究解决了一些猜想，得到了一些研究工具，将图与有向图、超图与有向超图的研究一般化，得到张量或矩阵的一般结论，也提出了一些进一步研究的新问题.