张量分解和张量线性系统的数值求解

Tensor, a generalization of matrices to multi-way arrays, has great scientific significance and a wide variety of practical applicaions, such as PDE, multivariate regression and big data. The aim of the project is to study the storage structure of tensor based on its expression, and design an iterative algorithm for the tensor linear equations. The technique of QR decomposition will be used to obtain a compression structure of tensor from its expansion; Cayley transform and Smith method will be adopted in solving tensor linear equations involving the Laplace-like operator, and the stability of this kind of equations will be considered in the iterative algorithms. The stability and convergence analysis will be performed. In this project, we focus on (1) how to compute the compression of tensor by its visual representation; (2) how to design algorithms by using the stability of tensor linear equation and generalizing the Cayley transform and Smith method. The research idea of this project will be promoted in Riemannian optimization for the tensor linear equations.

张量是矩阵的高阶推广，在高维偏微分方程数值解、多重变量回归等方面有广泛的应用，是大数据研究的重要部分。本项目基于对张量的存储和表示形式的系统研究，建立张量线性系统的迭代求解方法，深入研究高阶张量的压缩和运算。本项目拟采用的压缩方式直接从张量的展开式出发，推广矩阵QR分解的技巧，试图更直观快速稳定地得到张量结构更加紧致的表示；另一方面，本项目将对类高阶Laplace算子形式的张量线性系统设计迭代算法求解，通过Cayley变换和Smith技巧的高阶形式，充分利用张量系统的稳定性构造迭代算法并给出收敛性和稳定性分析。本项目将重点研究如何利用张量的直观表示进行压缩，以及如何利用张量方程的稳定性设计算法。本项目的研究思路也将在黎曼流形上张量线性系统的求解中加以推广。

我们考虑张量积空间$R^{n1×……×nd}$中c-稳定的张量线性方程的数值解，这类方程一般可由$R^d$中偏微分方程离散化得到。利用稳定性，我们可等价得到d-稳定的广义Stein型方程并迭代求解。对于稀疏有结构的大规模问题，该方法在适当假设下可进一步优化使得计算复杂度达到$O(Σni)+O(n_s)$(以$n_s$表示求解系数矩阵为$Ai−I_ni$的浮点数)。在探究张量方程背景的过程中，我们研究了一些周边课题，如控制论中的矩阵计算、微分方程数值解和随机算法及神经网络方法求解不适定问题。控制系统问题中，我们通过Krylov子空间方法求解大规模连续和离散Riccati方程，并证明了投影后的Riccati方程的可解性不是通过假设还是由于遗传性得到的。我们研究了控制系统的可稳定性和可检测性、相关Hamiltonian矩阵的稳定性和由残量控制的扰动理论，特别注意到近似解可以保持可稳定半正定性。作为副产品，我们给出了随机Riccati方程的小样本条件数估计，并与同伦方法求解直接解相结合。微分方程方面，对于二维Helmholtz方程在外边界满足Dirichlet条件内边界非圆的问题，我们先以Hankel方程$H^(1)_0(kr)$作为基本解求解，又提出组合基本解$(\partial/\partial R±ik)H^(1)_0(kr)$ ($i=\sqrt{−1}$)作为改进的基本解方法，可推导出计算误差界并证明其多项式速度收敛。我们还用基于高精度多元二次拟插值的无网格辛结构方法计算KDV方程和二维随时间变化的薛定谔方程。该方法精度高可随区域变化且计算效率高，同时在理论上可以证明其守恒性和收敛性。在每个部分的算法中我们都给出相应的数值算例说明算法和理论的有效性。