量子群和张量范畴形变理论中的若干问题

The theory of quantum groups, Hopf algebras and tensor categories has been found with close connections to many branches of mathematical physics and thus has been paid close attention. Among these research areas, the theory of quantum groups and the deformation theory of tensor categories plays an important role, especially the Green ring of a tensor category as an invariant up to tensor equivalence plays a key role. The present research proposal mainly focusses on structure, automorphisms of quantized enveloping algebras and deformations of Hopf algebras and tensor categories. Firstly, the relationship between the central subalgebras and the Green rings of quantized enveloping algebras is revealed so as to study the structure central subalgebras and automorphisms of the quantized enveloping algebras. Secondly, for tensor categories, especially for the representation categories of some Hopf algebras, we study their deformations, classifications and the representations of their Green rings. Finally, the relationship among the Casimir number, the Green ring and the Auslander algebra of a tensor category is studied. This research proposal interacts several areas of quantum groups, Hopf algebras, Lie theory, the represention theory of algebras and the mathematical physics. So we expect that the results from this project find applications not only back in those areas, but also in the classification of finite tensor categories.

量子群、Hopf代数及张量范畴理论与数学物理的众多分支联系日益紧密因而受到人们的广泛关注。在这些理论中，量子群和张量范畴的形变理论处于重要地位，而张量范畴的Green环作为张量等价意义下的不变量在该理论的研究中发挥关键作用。本项目主要研究量子包络代数的中心子代数的结构、自同构以及Hopf代数与张量范畴的形变等理论。首先通过揭示量子包络代数的Green环与中心子代数的关系，研究中心子代数的结构与量子包络代数的自同构；其次研究张量范畴，特别是某些Hopf代数的表示范畴的形变、分类以及相应Green环的表示理论；最后研究有限张量范畴的Casimir数与张量范畴的Green环、Auslander代数等不变量之间的联系。这些研究内容涉及量子群、Hopf代数、Lie理论、代数表示理论及数学物理等研究领域。项目预期成果不仅能促进这些研究领域的进一步融合与发展，而且有望应用于有限张量范畴的分类。

本项目主要研究量子群的结构与张量范畴的形变等理论。首先我们拟通过揭示量子群的Green环与中心子代数的关系，研究中心子代数的结构与量子群的自同构；其次，研究张量范畴，特别是某些Hopf代数的表示范畴的形变、分类以及相应Green环的表示理论；最后研究有限张量范畴的Casimir数与张量范畴的Green环、Auslander代数等不变量之间的联系。. 课题组成员自申请与立项以来，全力投入到课题的研究中。首先，明确给出了单李代数对应的量子群的中心子代数的结构；给出了有限维秩1的pointed Hopf代数的表示环上定义一个结合、非退化的双线性型, 利用该双线性型研究表示环以及稳定表示环的一些性质, 特别是它们的Frobenius性质; 给出了其上Green环的包腔模结构及其Mckey矩阵. 其次，建立了融合环上的表示理论的一些基本结果；同时完全给出了Near群融合环上非负整数不可约表示的分类及计算方法；我们利用张量范畴的Green环上的Casimir算子作用的像和整数环的交的生成元是一个非零整数，称为Casimir数，来判定一个Green环是否具有零Jacobson根。我们得到了域上Green代数具有零Jacobson根充分必要条件是Casimir数在域中可逆，特别的交换Green环具有非零Jacobson根充分必要条件Casimir数不为零；进一步探讨了Casimir数与FS指标及融合范畴的行列式之间的关系；利用Hopf代数及其形变积分在Sweedler幂映射下的理想，给出了Hopf代数表示范畴的几个不变量。再次，我们给出了9维Taft代数的Green代数（实数域上）的自同构群的明确刻画；证明了秩为1的有限维点Hopf代数的任一理想均可由一个元素生成，并明确给出了理想的生成子；利用生成子，我们对4维Taft代数、9维Taft代数及Radford量子群的理想进行了分类。最后，我们讨论了Frobenius-Perron维数2的自对偶单对象生成的融合范畴及具有极大秩的子融合范畴的分类。