超曲面的几何与拓扑分类研究

借助基本几何与拓扑不变量对典型黎曼流形中的超曲面进行刻画和分类历来为几何学家所高度关注，是整体与局部微分几何理论的核心课题，涌现了大批经典的深刻研究成果。近年来，伴随着几何分析方法、泛函的临界点理论、微分拓扑学理论等在该课题研究上的成功运用和超曲面研究自身新理论、新思想的建立和新的研究方法的发现，该领域的研究又取得了显著进展。本项目将依托课题团队多年来从事相关研究的良好基础，集中开展典型黎曼流形中具有特殊几何与拓扑性质的超曲面的分类研究，特别是着眼于在包括下列课题的研究上做出创新性研究成果：球面中Moebius等参超曲面的分类，Dupin超曲面的分类，仿射微分几何中与仿射球面紧密相关的超曲面的分类，复空间形式中常数主曲率实超曲面的几何与拓扑分类，具有其它典型性质基本张量场的超曲面的几何与拓扑关系研究。

课题核心是典型黎曼流形中的超曲面关于几何与拓扑量的分类研究。内容涵盖了包括仿射微分几何、共形微分几何和整体黎曼几何的下述四个方面：具有平行三次形式（也称为Fubini-Pick形式）的等仿射超曲面的分类研究；球面中Moebius等参超曲面和Blaschke等参超曲面的分类研究；一些典型黎曼泛函的临界点性质及其相关问题的研究；黎曼流形Laplace算子第一特征值和典型黎曼流形的刚性现象研究。作为项目的重要成果，我们建立了一系列的分类：完全分类了具有平行三次形式的局部严格凸型、Lorentz度量型和一些低维情况的等仿射超曲面；完全分类了5维局部严格凸拟脐的齐性仿射超曲面；完全分类了球面中具有三个不同主曲率的Moebius等参超曲面和具有三个不同Blaschke特征值的Blaschke等参超曲面。此外，还发现了一些特殊黎曼流形及其子流形的刚性现象。