限制李超代数的广义约化表示

限制李超代数是模李超代数中的很重要一类。任意一个有限维李超代数都可以嵌入到一个有限维限制李超代数中。限制李超代数不可约表示的同构类是由p特征函数参数化。由于在限制李超代数模表示理论中，缺失了完全可约性，从而仅仅研究不可约表示还不够，而应研究不可分解表示。本课题在国内外学者及本课题组已有研究的基础上，探讨限制李超代数的广义约化表示。具体来说，本课题将通过定义限制李超代数的广义约化包络超代数以来研究它们的有限维不可分解模的结构及性质、Block的分划、支柱簇的刻画及实现等。同时，通过广义约化包络超代数族的逆向极限来研究限制李超代数的一般表示理论（不一定有限维）。对于典型李超代数和Cartan型李超代数的情形，本课题还将给出进一步的细致信息。比如：在有限维广义约化表示范畴中，单模投射覆盖的维数、滤过因子及出现的重数，Frobenius互反律等。本课题的研究对于李超代数的模表示具有一定的理论意义。

限制李超代数是模李超代数中的很重要一类. 任意一个有限维李超代数都可以嵌入到一个有限维限制李超代数中. 限制李超代数不可约表示的同构类是由p特征函数参数化. 本课题在国内外学者及本课题组已有研究的基础上, 探讨限制李超代数的广义约化表示. 具体来说, 本课题通过定义限制李超代数的广义约化包络超代数以来研究它们的有限维投射不可分解模/不可约模的结构及性质. 同时, 通过广义约化包络超代数族的逆向极限来研究限制李超代数的一般表示理论 (不一定有限维). 对于典型李超代数和Cartan型李超代数的情形, 本课题给出了进一步的细致信息, 比如: 在有限维广义约化表示范畴中, 滤过因子及出现的重数, Frobenius互反律等. 我们取得了如下一些主要结果 (包含在已发表（接受发表）的十篇学术论文中, 具体请见研究成果目录):. (1) 定义了限制李超代数的广义约化包络超代数以来研究其广义约化表示. 证明了限制李超代数的任何一个有限维不可分解表示都是结合于某个特征函数的广义约化表示. 同时进一步把一个限制李超代数的广义约化包络超代数实现为另一个限制李超代数的约化包络超代数.. (2) 定义了限制李（超）代数的广义约化包络代数族的逆向极限 (无线维代数). 给出了此代数的模范畴与李（超）代数的某些表示范畴的Morita等价.. (3) 决定了S、H型限制李超代数的限制不可约表示的完全分类. 给出了baby Kac 模为单模的充分必要条件. 同时具体计算了所有不可约表示的特征标公式.. (4) 研究了Cartan型限制李超代数的非限制表示. 给出了baby Kac 模为单模的一些充分条件.. (5) 研究了典型李超代数sl(1|n+1)的不可约表示. 给出了baby Kac模为单模的充分条件. 对于sl(1|2)情形, 完全分类了不可约表示, 并计算了单模的维数.. 我们已全面地完成了预期的研究计划。本项目的研究对于李超代数的模表示具有一定的理论意义。