Cartan 型限制李超代数的非限制模表示

Lie superalgebras of Cartan type is one of the important kinds of finite dimensional simple Lie superalgebras in prime characteristic.Through the methods of induced modules、odd reflection、Frobenius theory and R-form, we plan to study the non-restricted representations of the restricted Lie superalgebras of Cartan type over an algebraically closed field of characteristic p>2. We focus on the case when the height of the character equals to one. Specifically, we will mainly study the following three questions:(1)The irreducible representations of H(n) and K(n) with p-chanacter of height one;(2)For the reduced enveloping superalgebras of W(n),S(n),H(n),K(n), we will study the Cartan invariants and the partition of Blocks of the reduced enveloping superalgebras;(3) The irreducible non-restricted representations of W(m,n,1),S(m,n,1),H(m,m,1),K(m,n,1) with p-chanacter of height one. The result of this project will enrich the modular representation theory of Lie superalgebras.

在素特征域上,Cartan型李超代数是一类重要的有限维单李超代数.本项目拟通过诱导模的方法,利用奇反射、Frobenius理论以及R-形式等工具,在特征大于2的代数闭域上来研究Cartan 型限制李超代数的非限制模表示, 重点研究高度为1的特征标.具体来说,我们主要研究以下三个方面：（1）Cartan型李超代数H(n)和K(n)在特征标高度为1时的不可约表示；（2）Cartan型李超代数W(n),S(n),H(n),K(n)所对应的既约包络代数的Cartan不变量以及Block划分问题；（3）Cartan 型限制李超代数 W(m,n,1),S(m,n,1),H(m,m,1),K(m,n,1)在特征标高度为1时的非限制表示.本项目的结果将会充实李超代数的模表示理论.

Cartan型李(超)代数是一类非常重要的李(超)代数，它们的表示在数学和物理中有一定的意义。本项目研究了Cartan型李(超)代数的表示理论，主要包括不可约表示、投射表示和Tilting-理论。具体内容和结果如下。.1、在特征大于2的代数闭域上，研究了Cartan型李超代数W(n)在特征标高度小于等于一时的投射表示。得出如下结论：.(1) 给出既约包络超代数的Cartan不变量的计算公式。由此得出：当特征标高度小于等于一时，既约包络代数只有一个block。.(2)计算出余标准模在不可分解投射模中的重数。.2、令g=\bar{S}(n)。在特征大于2的代数闭域上，研究了g在特征标高度等于一时的表示。结论如下：.(1)在特征标高度等于一时，研究了g的不可约表示。给出Kac-模的合成因子以及单模的维数。.(2) 计算出不可分解投射模的余标准模滤过的重数。.(3) 给出既约包络代数的Cartan不变量的计算公式。得到结果：当特征标高度等于一时，既约包络代数只有一个block。.3、在特征大于2的代数闭域上，给出单模是余标准模的合成因子的一个充分条件。运用此条件得出：在考虑奇偶性的前提下，Cartan型李超代数W(n)，S(n)，\bar{S}(n)，H(n)，\bar{H}(n)对应的限制包络代数只有一个block。此外，还给出了限制不可约\bar{S}(n)模的维数公式。.4、类似于复半单李代数上的范畴O，我们在复数域上给出阶化李代数对应的某个范畴O的定义，并在此范畴内研究了无限维李代数W(n),S(n),H(n)的Tilting-模。通过余标准模的实现，得到W(n),S(n),H(n)对应的tilting-模的特征标。.5、类似于复半单李代数上的范畴O，我们在复数域上给出阶化李超代数对应的某个范畴O的定义，并在此范畴内系统研究了Cartan型李超代数W(n),S(n),H(n)的表示理论。主要包括不可分解投射模的存在性，block分化，以及不可分解投射模和不可分解Tilting-模的特征标理论。