流形上函数的频率及几何应用

The frequency functions are very important tools in studying harmonic functions on complete non-compact Riemannian manifolds, and has many applications in studying the nodal sets of Laplacian eigenfunctions and in studying singular sets of solutions to elliptic partial differential equations. In this project, we would like to study properties of the frequency function of harmonic function non-compact Riemannian manifolds, and related frequency functions of Laplacian eigenfunctions on compact Riemannian manifolds. By reading papers and doing seminar discussion, we hope we can grasp the use of the frequency functions that appeared in various recent works (including Logunov's seminal work on Yau's conjecture on nodal sets), and we hope to introduce frequency functions to our own work in various aspects of geometric analysis. Moreover, we would like to organize summer school and workshops via this project. We plan to invite leading experts in this area to teach mini-courses and to give research talks. The audience will be graduate students from many universities in China.

频率函数是研究完备非紧黎曼流形上的调和函数的重要工具，在研究Laplace特征函数结点集、椭圆方程解的奇异集等问题上也有着广泛的应用。我们打算依托这个天元数学高级研讨班项目，对非紧黎曼流形上调和函数的频率函数，以及与之相关的紧黎曼流形上Laplace算子特征函数的频率函数，由浅入深地展开深入而全面的探讨和研究。特别地，通过一起阅读文献与定期讨论，我们希望能够理解频率函数在近期诸多进展（例如Logunov关于Laplace 特征函数结点集的Yau猜测的证明）所起到的实质性作用，并以频率函数为支点，开展几何分析多个问题的研究。此外，我们将要依托这个项目，组织面向全国相关专业研究生的暑期学校与学术研讨会，邀请国内外顶尖的专家前来讲学，以推动和促进国内相关方向的科研。

频率函数是研究完备非紧黎曼流形上的调和函数的重要工具，在研究Laplace特征函数结点集、椭圆方程解的奇异集等问题上也有着广泛的应用。我们在这个项目里，对非紧黎曼流形上调和函数的频率函数，以及与之密切相关的紧黎曼流形上Laplace算子特征函数，由浅入深地开展了探讨。我们一起阅读文献与定期讨论，举办线下研讨会1次，线上学术会议2次。我们深入探讨流形和离散图上的调和函数以及Laplace特征函数的性质。我们研究了图上的离散Laplace算子相关的分析问题，包括调和函数、热方程/波方程的解性质，离散曲率流等。我们还研究了流形Laplace型算子谱的等变逆问题，以及有界欧式区域的Weyl渐近问题。随着本高级研讨班项目的逐年开展，我们相信可以更进一步促进相关学科的发展，并在相关问题上获得更多的研究成果。