流形上函数的频率及几何应用

The frequency functions are important tools in studying harmonic functions on complete non-compact Riemannian manifolds, and has many applications in studying unique continuation of harmonic funcitons, the nodal sets of Laplacian eigenfunctions and properties of geometric flow. In this project, we will continue to study properties of the frequency function of harmonic function non-compact Riemannian manifolds, and related frequency functions of Laplacian eigenfunctions on compact Riemannian manifolds. By doing seminar discussion, we hope we can grasp the use of the frequency functions that appeared in various recent works (including Logunov's seminal work on Yau's conjecture on nodal sets etc), and we hope to introduce frequency functions to our own work in various problems of geometric analysis. Moreover, we will organize short school and workshops via this project for graduate students and junior researchers. We plan to invite leading experts in this area to teach mini-courses and to give research talks.

频率函数是研究完备非紧黎曼流形上的调和函数的重要工具，在研究调和函数唯一延拓性、Laplace特征函数结点集、几何流等问题上也有着广泛的应用。我们打算依托这个天元数学高级研讨班项目，继续对非紧黎曼流形上调和函数的频率函数，以及与之相关的紧黎曼流形上Laplace算子特征函数的频率函数，展开深入而全面的探讨和研究。特别地，通过定期研讨，我们希望能够理解频率函数在近期诸多进展（例如Logunov关于Laplace 特征函数结点集的Yau猜测的证明）所起到的实质性作用，并以频率函数为支点，开展几何分析多个问题的研究。此外，我们将要依托这个项目，组织面向全国相关方向青年学者与研究生的短期学校，邀请本方向国内外知名专家前来讲学，以推动和促进国内相关方向的科研。

频率函数是研究完备非紧黎曼流形上的调和函数的重要工具，在研究调和函数唯一延拓性、Laplace特征函数结点集、几何流等问题上也有着广泛的应用。我们在这个项目里，对非紧黎曼流形上调和函数的频率函数，以及与之密切相关的紧黎曼流形上Laplace算子特征函数，由浅入深地开展了探讨。我们一起阅读文献与定期讨论，举办研讨会3次（其中2次为线下研讨会、1次为线上研讨会），邀请了多位国内外同行做学术报告，并让更多的同行了解和进入到这个方向。我们深入探讨几何算子的谱理论，在Laplace 算子以及Schrodinger 算子的Weyl渐近、完备非紧非负Ricci曲率流形上测地球第一特征值最佳下界估计、7维流形G2结构Laplace流等问题上取得良好的成果。.