流形上函数的频率及几何应用

The frequency functions are very important tools in studying harmonic functions on complete non-compact Riemannian manifolds, and has many applications in studying the nodal sets of Laplacian eigenfunctions and in studying singular sets of solutions to elliptic partial differential equations. In this project, we would like to study properties of the frequency function of harmonic function non-compact Riemannian manifolds, and related frequency functions of Laplacian eigenfunctions on compact Riemannian manifolds. By reading papers and doing seminar discussion, we hope we can grasp the use of the frequency functions that appeared in various recent works (including Logunov's seminal work on Yau's conjecture on nodal sets). More importantly, we hope to introduce frequency functions to our own work in various aspects of geometric analysis.

频率函数是研究完备非紧黎曼流形上的调和函数的重要工具，在研究Laplace特征函数结点集、椭圆方程解的奇异集等问题上也有着广泛的应用。我们打算依托这个天元数学高级研讨班项目，对非紧黎曼流形上调和函数的频率函数，以及与之相关的紧黎曼流形上Laplace算子特征函数的频率函数，由浅入深地展开深入而全面的探讨和研究。特别地，通过一起阅读文献与定期讨论，我们希望能够理解频率函数在近期诸多进展（例如Logunov关于Laplace 特征函数结点集的Yau猜测的证明）所起到的实质性作用。更重要的，我们希望能够以频率函数为支点，开展几何分析多个问题的研究。

频率函数是研究完备非紧黎曼流形上的调和函数的重要工具，在研究Laplace特征函数结点集、椭圆方程解的奇异集等问题上也有着广泛的应用。我们在这个项目里，对非紧黎曼流形上调和函数的频率函数，以及与之密切相关的紧黎曼流形上Laplace算子特征函数，由浅入深地开展了探讨。我们一起阅读文献与定期讨论，举办研讨会3次，并组织了一次为期四天的面向全国各地研究生的短期学校，让更多的同行了解和进入到这个方向。我们深入探讨流形和离散图上的调和函数以及Laplace特征函数的性质。我们研究了图上的离散Laplace算子相关的分析问题，包括调和函数、热方程的解性质等。我们还研究了二维、三维多面体空间的离散曲率相关问题。随着本高级研讨班项目的逐年开展，我们相信可以更进一步促进相关学科的发展，并在相关问题上获得更多的研究成果。