复域差分与差分方程亚纯解的一些性质

近十年来，由于Nevanlinna理论的引入，复域差分与差分方程理论有了突破性进展，并逐渐成为了新的研究热点。该理论在物理学中有很多应用背景，同时其研究也将推动并丰富Nevanlinna理论的研究与应用，从而也具有纯数学理论意义。在本项目中，我们将主要研究多种类型的复域差分方程及复域q-差分方程亚纯解的解析性质；研究复域差分、均差分与差分多项式的值分布问题及唯一性问题；并在研究中寻找好的研究方法，总结其应用方法。此外，我们还将探索Nevanlinna理论的复域差分模拟，尝试改进已有结果，并将更多经典的亚纯函数理论结果推广至复域差分领域，为进一步研究提供有力工具；探索复域差分（方程）和复域微分（方程）之间的关系，寻求一些共同的研究方法及相似的研究结果，为进一步研究打下好的基础。本项目研究将丰富复域差分与差分方程理论的研究，同时也将推动并丰富与之有密切关系的复域微分与微分方程的研究与应用。

我们对本项目的研究基本上按原计划进行, 对研究计划中的各个目标都进行了研究, 得到了一些新结果, 并在SCI源刊物及国内外核心刊物上发表或录用了多篇论文, 顺利地完成了本项目的研究, 同时也为进一步研究打下了良好基础. 在本项目的研究中, 还培养了两名硕士研究生.. 我们主要在复(q-)差分方程亚纯解的解析性质、复(q-)差分多项式的解析性质、复微分方程亚纯解的解析性质等三方面开展了研究, 具体情况如下. 应用微分域的方法研究了一类高阶非线性q-差分积方程, 得到了方程退化的充要条件, 以及方程亚纯解的形式与系数之间的关系, 体现了将复差分方程和复q-差分方程结合在一起进行研究的益处. 研究了一类高阶线性q-平移差分方程亚纯解的增长性, 拓宽了预期的研究范围; 其中关于方程亚纯解的下级的结果在线性差分方程已有结果中较少出现, 体现了将复微分方程和复差分方程结合在一起进行研究的益处. 研究了某些有限级整函数差分多项式的值分布问题, 并精确估计了相应值点的收敛指数, 所得结果是Hayman经典结果的直接差分模拟. 应用不同于文[10]的方法研究了零级亚纯函数q-平移差分多项式的值分布问题, 改进了文[10]中所需的条件, 所得结果亦可视为Hayman经典结果的q-平移差分模拟. 研究了慢增长亚纯函数高阶差分和均差分的零点分布、取多项式的值点分布, 并精确估计了相应值点的收敛指数. 研究了复高阶线性(非)齐次微分方程亚纯解与方程系数的关系, 得到了方程解的增长性及解的各阶导数取小函数值点的分布; 其中关于方程亚纯解的迭代下级的结果, 对相应线性差分方程的研究起了引导作用.