亚纯函数值分布与正规族理论新研究

The theory of value distribution and normal families of meromorphic function has a history of 130 years, the former mainly considers the distribution of the points at which functions take some complex numbers, the latter mainly focuses on the compactness of family of functions in the spherical metric, the theory plays a vital role in further study the properties of meromorphic functions. Therefore, we want to study it from the following aspects: (1) the Picard type theorem concerning small functions; (2) normal criterion about two families of meromorphic functions concerning sharing values or functions;(3) the precise upper bound for spherical Derivative at the origin of normal families; (4) explore the application of value distribution and normal family theory in Bernstein type theorem and its corresponding limited quantitative form of minimal surfaces.

亚纯函数值分布与正规族理论已经有130多年历史，前者主要考虑函数取复数值点的分布情况，后者主要考察函数族在球面度量下的紧致性，该理论对于我们进一步研究亚纯函数的性质起着至关重要的作用。因此，我们将从以下几个方面对值分布与正规族理论加以研究：（1）涉及一般小函数的Picard型定理；（2）涉及分担值与分担函数的两族函数的正规定则；（3）关于正规族的球面导数在原点处的精确上界问题；（4）探索值分布与正规族理论在极小曲面Bernstein型定理及其有限定量形式中的应用。

亚纯函数值分布与正规族理论对进一步研究亚纯函数的性质起着至关重要的作用，我们首先研究了导函数不取特殊形式小函数的Picard型定理得到了一系列的结果；其次，全纯曲线是亚纯函数在高维复射影空间的自然推广，我们通过引入导曲线的定义，率先给出了涉及导曲线的全纯曲线的正规定则；然后，还研究了两族曲线分担超曲面的正规性问题，得到了一系列的结果；再次，对于全纯曲线的值分布理论，我们给出了涉及处于次一般位置的超曲面的非代数退化的全纯曲线的第二基本定理，推广了陈志华，汝敏，颜启明12年的结果；同时，我们还得到了涉及一个具有特殊形式的超曲面的第二基本定理；最后，极小曲面理论是微分几何的经典内容，通过引入紧性质，我们利用正规族理论得到了R^m空间中极小曲面的高斯曲率的估计式。