非线性数学期望下的倒向随机微分方程及其应用

The nonlinear mathematical expectation theory is a non-trivial generalization of the classical probability thoery. This brand new theory is a perfect mathematical framework for analysing financial problem in the context of volatility uncertainty and it provides efficient probabilistic tools to interpret fully nonlinear partial differential equations. In this project, we aim to investigate backward stochastic differential equations within this framework. Precisely, we synthetically apply stochastic analysis techniques and partial differential equations tools to discuss such equations with more general conditions. Moreover, we employ these equations to solve stochastic control problems and meaningful problems in finance, for example, the utility maximization problem under volatility uncertainty and the general principal-agent problem under moral hazard. Through this project, we plan to develop new stochastic analysis techniques and obtain novel results to enrich the nonlinear mathematical expectation theory and to broaden the scope of its application.

作为经典概率论的非平凡推广，非线性数学期望理论不仅为刻画波动率不确定性下的金融问题提供了完美数学框架，而且为全非线性偏微分方程的概率解释提供了有力的工具。本项目将在这一全新理论基础上围绕倒向随机微分方程展开研究，通过随机分析方法以及偏微分方程技术，讨论该方程在更为一般的条件下的可解性，探索运用该方程解决随机控制以及金融数学上的具体问题，尤其是在波动率不确定背景下的效用最大化问题和具有道德风险的委托代理问题。通过本项目的研究，可以发展一些新的随机分析方法和技术手段，得到一些国内外领先的原创性成果，深化非线性数学期望理论，为该理论的应用提供更广阔的前景。

该项目研究了非线性数学期望下的倒向随机微分方程，给出了随机时域上的利普希茨系数的方程的适定性以及与全非线性偏微分方程的解的关系。同时，该项目研究了含有道德风险的委托代理问题，将问题扩展到了委托人可以选择终止合同的一般情形，并通过二阶倒向随机微分方程的解为上述委托代理问题提供了可解性。最后，该项目研究了存在交易费用市场上的期望效用最大化问题，给出了对偶问题最优解的刻画及稳定性。