块不变量，特征标与群结构

Based on some well-known conjectures on modular representation,we apply relative projective module theory to study block invariants of group algebra and to study correspondences between different blocks;study relations between invariants of group structure and ordinary characters;following some properties of ordinary characters,study similar properties of modular characters;study how properties of modular characters control the structure of finite groups;Restricted the global properties of group algebra to local block algebra,study how the invariants of block algebra control the structure of finite groups. study some application of finite groups and characters to other fields.

拟围绕若干著名的模表示猜想，应用相对投射模的理论，研究群代数的块不变量的性质，研究不同块之间块不变量的对应关系；研究群的结构不变量与常特征标的性质，如群结构不变量的关系，在特征标下有何对应关系；研究常特征标的性质与模特征标性质的关系，即常特征标的关系式在模特征标下如何对应，进而研究模特征标性质对群结构的影响；研究块不变量与群结构的关系，即将整体特征标的性质限制到一个块代数上，研究这样的块代数与群结构的关系。研究群与特征标在其它若干领域的应用问题。

项目背景：群的模表示理论是用现代代数学的理论，研究群的结构，分析群的不变量与代数不变量之间的关系，例如基于核心研究的Alperin猜想等等，就是关于这些不变量的关系。模表示理论同时给一般代数理论提供一个研究模型。群的模表示理论同时建立了群与域的联系，这就为群的应用提供了理论模型，这些模型在编码和密码理论中已经有许多应用。..主要研究内容与主要结果：.1 关于模特征标的取值域和群的性质结构方面，证明了下列结论：定义了模 -正则 -群，证明了这类群几乎是模Frobenius群，作为常特征标的情况，就几乎是Frobenius群。模Frobenius群是一般Frobenius群在有限域上的推广。1996年，E. B. Kuisch Ú R.和W. van der Waall首次提出模-F群，他们给出了模-Frobenius群的基本定义和基本结构。自那以后，几乎没见文献讨论这类群的结构问题。直到2012年，在澳大利亚数学会刊物上，我们发表了一篇关于这类群的文章。这类群主要是用特征标诱导不可约来刻画的，或者利用纯群论的性质来刻画。由于本文的结果，特征标取实值的群和特征标诱导不可约的群建立了联系，这就是本文的创新工作，因为这个结果等于扩展了人们对Frobenius群的了解。文章结果被审稿人认为是非常漂亮的结果，已经发表1篇文章。.此外研究了一种特征标：Gagola特征标。这类特征标与Galois群，共轭类和特征标的取值都有关系，因此对它的研究具有很广泛的意义。我们的主要结果是：对广Gagola特征标给出了一个刻划。相关结果已经发表。..2 关于块代数与群的结构： p-radical 群与群结构的关系曾经得到过研究，即已经证明这类群是p-可解群。进一步定义p-radical块，研究这类块的性质与群的关系，几乎是空白。我们主要研究主p-radical的块，研究这类块如何决定p-radical群。相关的结果已经发表。..3 关于特征标个数与群结构问题，证明：一个群若非线性Brauer特征标的个数小于或等于1，则群是可解群；当这个数等于2时，群不一定可解。发表一篇文章。..4 研究特征标图与群结构的关系，决定了特征标图是空图的群的结构。发表了一篇文章。..5 关于群与特征标的应用方面，研究电子签名的算法与方案，主要是环签名的算法与改进，目前已经有6篇文章发表。