环面相关李代数的拟有限单模之完全分类问题

It is really fundamental and important to classify quasi-finite representations of Lie algebras. And certain Lie algebras associated with tori play vital roles in many fields of mathematics and physics, thus a complete classification of their quasi-finite simple modules makes a lot of sense. Nevertheless, it seems that the complete classification is unreachable via current techniques in the literature. That is why we aim to exploit new approaches for solving this problem by extending and combining existing methods. In particular, we will firstly attempt to classify quasi-finite simple modules over the Virasoro-like algebra. To this end, we have to borrow an idea called “modulo p reduction” from Olivier Mathieu’s well-known classification of Virasoro-modules. We are going to bring this idea to a feasible solution of the problem. Based on this classification and some known results, we will tackle the classification problem for Cartan type Lie algebras and toroidal EALAs as well. At least this project will hopefully give a complete classification of quasi-finite simple modules over the Cartan type Lie algebras.

李代数拟有限表示的分类是表示论中一个基本而重要的问题。而与环面相关的一些李代数在数学和物理的许多领域起着重大作用，对它们的拟有限单模给出完全分类非常有意义。然而目前的技术只能在该问题上得到部分结果，所以本项目尝试拓展和融合各种方法，开发出新的技术，以期在此问题上获得一些突破。特别地，本项目首先尝试完成Virasoro-like代数拟有限单模的分类。为此我们借鉴Olivier Mathieu关于Virasoro模分类的著名工作，化用其“模p归约”思想，构思出了一个方案。再以此为突破口，结合前人的结果和技术，试图将分类推广到Cartan型李代数和toroidal EALA，至少有望完成Cartan型李代数拟有限单模的分类。

环面相关李代数拟有限表示的分类是表示论中一个基本而重要的问题，在数学和物理的许多领域起着重大作用。而Virasoro-like代数是目前拟有限表示难以完全分类的最简单例子。本项目较系统地考察已有的拟有限表示分类技术，深入理解其适用条件，灵活融合这些技术，充分发掘其潜在威力，并针对具体情形加以改造和拓展，希望以此来彻底分类环面上一些重要李代数的拟有限单模。特别地，我们以Virasoro-like代数的一致有界模为焦点，找出“高维分次”代数一致有界模分类问题的本质困难并力图克服，再将所得结果和形成的技术应用于更复杂的代数。. 本项目从Mathieu、Futorny和Billig的工作中获得启发，构想了一套分类一致有界模的方法，本想用于解决Virasoro-like代数的一致有界模分类问题，但发现它无法由部分模所决定，因而“mod p归约”的思路行不通。然而只要一致有界模能由部分模决定，一般来说就能用我们的办法进行分类。比如对于参数非零的Block代数，其一致有界模就能用我们的方法简捷地分类。不过这已经在2018年被Billig和Iohara用非常繁杂的方法解决了。. 为克服部分模结构不能决定一致有界单模的技术困难，我们产生了将部分模结构及其平移看作一个拓扑动力系统的想法，希望利用“一致回复性”来获得模结构的制约。此外我们也尝试从算子代数的角度去绕过障碍，寻找突破口。从这个思路出发我们推广了von Neumann经典的“双交换”定理的单算子版本，将交换关系拓展成了高阶换位关系。这对于算子代数和李代数研究来说都是很有用的工具，论文发表后很快获得了一些学者的关注。