零和理论中的分解问题与堆垒基的研究

Zero-sum theory is an important branch of Combinatorial Number Theory, which has the intrinsic connections with Algbraic Number Theory, Graph Theory, Ramsey Theory, Discrete Theory and etc.. In this project, we will study the factorization problems and additive bases in the Zero-sum theory. We aim to determine the precise values of factorization invariants, to research the relationships among these invariants; to determine the precise value of regular additive bases invariant, to describe the structure of the regular sequences with maximum length that do not form additive bases; to investigate the best lower bound of the subsequences sums of zero-sum free sequences over finite abelian groups with high rank. We will make a contribution to Zero-sum theory through the investigation of this project.

零和理论是组合数论的一个重要分支，与代数数论、图论、Ramsey理论以及离散几何等领域有着紧密联系。本项目拟研究零和理论中的分解问题与堆垒基。主要包括：确定零和序列分解常数的精确值，探讨这些常数之间的关系；确定有限交换群的正则堆垒基常数的精确值，刻画不构成堆垒基的最长正则序列的结构；研究大秩有限交换群上零和自由序列子序列和的势的最优下界。本项目的研究工作将促进零和理论的发展。

本项目主要研究了组合数论中的堆垒问题与零和序列的分解问题，已取得以下研究成果：1.确定了部分有限交换群的正则堆垒基常数，包括秩为2的有限交换群C3+C3q，其中q是大于3的素数；以及部分秩大于等于3的有限交换群。2.刻画了Cp+Cp上当子序列和达到极小值时的正则序列以及零和自由序列的结构。3.定义了新零和不变量D^(1)(G)，并研究确定了部分有限群的D^(1)(G)的精确值，其中包括所有有限交换群。4.确定了部分有限亚循环群的小Davenport常数以及Erdős–Ginzburg–Ziv常数。本项目共完成5篇文章，其中3篇已发表，2篇已投稿。这些研究成果，一定程度上丰富了该学科的内容，将有助于该学科的发展。