几类非线性波动方程 (组) 新的高效数值方法研究

First, this project aims at the development and theoretical analysis of (compact) finite difference methods (FDMs) preserving structures including energy and momentum, etc. for some nonlinear wave equations (systems), such as coupled sine-Gordon systems, coupled Klein-Gordon systems, N-coupled Klein-Gordon systems and complex-value Klein-Gordon equations. Besides, linearly implicit (compact) FDMs preserving energy conservation or dissipation are developed for several nonlinear wave equations (systems) with quadratic or.cubic polynomial. Second, by the combination of compact alternating direction implicit (ADI) methods with waveform relaxation iteration methods or two-grid methods, two kinds of fast compact ADI methods, which own high-order accuracy in both time and space, are respectively suggested for the coupled sine-Gordon systems, the coupled Klein-Gordon systems and space fractional Klein-Gordon equations. Meanwhile, we further focus on the development and theoretical analysis of the reduced compact ADI methods based on proper orthogonal decomposition (POD) method for heat transfer equation at miscroscale. Finally, this project concentrates on the construction and theoretical analysis of the high-resolution compact FDMs used to solve one-order partial functional wave equations.

首先，本项目将对耦合sine-Grdon 方程组、耦合Klein-Gordon 方程组，N-耦合Klein-Gordon 方程组和复值Klein-Gordon 方程等波动方程 (组) 建立保能量 (紧致) 差分法和保动量 (紧致) 差分法等保结构 (紧致) 差分法与理论。 对非线性项为二次或三次多项式的非线性波动方程 (组) 构造保能量/耗散线性隐式 (紧致) 差分法及理论。其次，将波形松弛迭代法或两重网格法与交替方向隐式 (ADI) 紧致差分法结合,对耦合sine-Grdon 方程组、耦合Klein-Gordon 方程组和空间分数阶 Klein-Gordon 方程构造时空方向均有高阶精度的快速ADI紧致差分法。 将ADI 紧致差分法与特征投影分解 (POD) 法结合，建立微尺度热传导方程基于POD法的降阶ADI 紧致差分法与理论。最后，发展一阶偏泛函波动方程的高分辨率紧致差分法与理论。

课题负责人带领团队积极工作，完成了大部分科研工作，已接受或正式发表论文 40 篇。在非线性波动方程 (组) 高性能数值算法的构造及其数学理论方面取得如下重要进展。 (1) 将非线性 Klein-Gordon 方程组和 sine-Gordon 方程组写成统一的耦合方程组，然后对统一的耦合方程组建立了一系列重要的数值方法如下。(i) 对它们建立了时、空方向均有六阶精度的 Richardson 外推法，极大地提高了计算效率。(ii) 通过提出新的差分公式离散非线性项，对它们建立两类能量守恒的非线性差分方法。(iii) 借助不变能量二次化方法，对它们建立了能量守恒的 ADI方法。新算法既能保持离散能量的守恒性，又具有ADI方法的高效性。同时，对能量耗散系统 Allen-Cahn 方程建立保持能量耗散的 ADI方法。新算法既能保持离散能量的耗散性，又具有ADI方法的高效性。(iv) 运用不变能量二次化方法，对它们建立一系列能量守恒线性隐式差分法。(2) 运用能量二次化方法，对 sine-Gordon 方程和耦合sine-Gordon 方程组建立能量守恒的 Du Fort-Frankel 差分方法。该方法是显式的，易于编程、计算。(3) 提出与传统不变能量二次化方法完全不一样的辅助变量，对sine-Gordon 方程和耦合sine-Gordon 方程组建立了保持能量守恒的 Du Fort-Frankel 差分方法。克服了由传统不变能量二次化方法所建立的能量守恒格式的缺点。(4) 以 带波算子的Schrödinger方程和耦合 Boussinesq-Schrödinger 方程组为例，对非线性项为三次多项式的波动方程建立能量守恒和质量守恒的线性隐式差分法，以及能量守恒和质量守恒的显式 Du Fort-Frankel 差分方法。(5)以 Korteweg-de Vries方程和耦合Schrödinger.-Boussinesq 方程组为例，对非线性波动方程 (组) 建立能量守恒的高阶Fourier 拟谱方法。(6) 对一阶偏泛函微分方程建立了二阶盒子格式及其 Richardson 外推法。(7) 将 ADI方法与波形松弛法，或两重网格方法结合，对各种类型的波动方程 (组) 构造时、空方向均有高阶精度的快速 ADI 紧致差分法。 (8) 对微尺度热传导方程建立基于正交分解的 ADI