复杂散射体的数值反演算法

逆散射问题是数学物理反问题中的重要研究方向，也是富有挑战性的研究课题，特别是复杂散射体的逆散射问题。针对时谐声波或时谐电磁波的逆散射问题，本项目主要研究诸如多个散射体和具有混合边界条件的散射体等复杂散射体的数值反演算法及其数学理论问题。在充分研究正问题的基础上，结合逆散射中的正则化牛顿法与分解算法的优点，利用非线性积分方程方法，提出重建复杂散射体的数值算法；利用正则化参数选取的模型函数方法及多正则参数Tikhonov正则方法，利用智能算法提供的迭代初值，提高重建复杂散射体的数值稳定性与精度；利用泛函优化等现代数学理论研究反演算法的收敛性；当逆散射方程的边界条件未知时，构造复杂散射体的非迭代型高效数值反演算法。通过本项目的实施，将在算法上和逆散射数学理论上有所创新，获得复杂散射体的若干高效稳定的反演算法和算法收敛性，实现从二维到三维空间的数值模拟，为逆散射应用提供理论、算法以及软件上支持。

数学物理方程反问题是应用数学和计算数学研究领域中的重要研究方向。逆散射问题是数学物理反问题中富有挑战性的研究课题，特别是复杂散射体的逆散射问题。针对时谐声波或时谐电磁波的逆散射问题，本项目主要研究诸如多个散射体和具有混合边界条件的散射体等复杂散射体的正反演算法。基于Kirsch-Kress方法和组合Newton法的思想，提出了三种新的Newton型的重建多个声柔散射体的数值算法，给出了该方法的收敛性分析。其中，提出的带自适应地选取辅助曲线的组合Newton法和组合拟Newton法不要求辅助曲线在散射体内部，这克服了Kirsch-Kress方法的缺陷；而提出的不需要辅助曲线的组合拟Newton 法相比于组合Newton 法来说计算量更少。研究了基于波场分解的多个散射体的重建数值算法，即利用单层位势进行波场分解，再利用自适应的组合拟牛顿法或组合牛顿法逐个实现多个散射体的重建。研究了混合边界条件下的裂缝散射正问题及其数值解法，首先证明了该散射问题解的唯一性; 然后通过位势理论与积分方程方法, 将问题转化为等价的奇异积分方程组并证明了解的存在性；通过求解奇异积分方程组给出了混合边界裂缝散射问题的数值模拟。研究了多正则化参数Tikhonov正则化中正则化参数选取的模型函数方法, 获得了多正则化参数的Tikhonov正则化解的收敛性结论。基于非标准的广义偏差原则、模型函数方法以及修正的L-曲线准则研究了Tikhonov正则化参数的选取方法。在本项目的资助下，项目组成员还进行了若干扩散方程的反问题和数值微分问题的研究。其中，研究了一类抛物型方程的源项反演问题和同时反演源项和初始的反问题，以及研究了一类分数阶扩散方程的初始反演与源项反演问题，获得了反问题非迭代型的数值反演方法；研究了一类扩散方程与Poisson方程耦合方程组的源项反问题，通过Schauder不动点定理证明了反问题解的存在性，通过Gronwall不等式证明了解的唯一性；提出了基于偏微分方程的数值微分算法，该算法将数值微分问题归结为抛物型方程正反问题的组合，然后通过重建抛物型方程源项获得数值导数，数值筭例表明所提出的新算法稳定性很好。至今为止已经完成论文20篇，其中SCI收录论文9篇；四年内培养研究生7名; 2013年举办了“第三届反演问题计算方法及其应用国际会议”，2014年举办了“科学计算与最优化青年学术论坛”。