磁弹性问题的各向异性有限元误差估计

Magnetoelasticity is a coupled problem of magnet field and deformation field in elastic solid. The theoretical and numerical researches on magnetoelasticity is very important for the reliability analysis of structural element in the high temperature, high pressure and strong electromagnetic field. The magnetoelasticity is attributed to partial differential equations in mathematics, and it is difficult to obtain the analytic solutions. So it is necessary to establish the numerical method. Up to now, there are only algorithms and numerical simulation in the finite element method for the magnetoelasticity, but analytic result of finite element for the coupled magnetoelasticity is rarely considered. Furthermore, many traditional finite element error estimations is based on the regular condition of meshes, and it is not conducive to reflect the characteristic of solution. This project studies the anisotropic finite element method for magnetoelasticity, such that finite element method is more suitable for the magnetoelasticity computation on anisotropic meshes.

磁弹性问题是研究弹性固态物质中电磁场和变形场相互作用的的耦合问题。磁弹性理论是在线性弹性理论和线性电动力学理论的基础上发展起来的，对于处在高温、高压和强电磁场作用下的结构元件的强度、可靠性分析具有非常重要的意义。实际工程问题中涉及到复杂的磁弹性场的耦合，在数学上归结为耦合的偏微分方程组，难以进行解析求解，有必要研究此类问题的数值解法。目前关于磁弹性问题的有限元方法研究大多是仅给出了有限元算法和数值模拟结果，没有对该耦合问题的有限元方法进行系统深入的研究；并且实际问题中磁弹性问题很多具有各向异性，而已有的有限元研究多是在单元满足正则性条件下给出的，这不利于反映问题真解的性态。本项目旨在研究电磁弹性问题的有限元方法，致力于研究各向异性网格下的高效有限元算法，给出磁弹性问题各向异性有限元误差估计结果，以更好地为实际工程中磁弹性问题的计算提供理论和算法支持。

实际工程问题中涉及到复杂的磁弹性场的耦合，在数学上归结为耦合的偏微分方程组，难以进行解析求解，有必要研究此类问题的数值解法。针对弹性问题，得到非协调虚单元法对于几乎不可压弹性问题的一致收敛性结果，同时，在纯应力边界条件下，也给出了非协调虚单元的一致收敛结果；我们通过增加跳跃加罚项，构造了无闭锁稳定化有限元格式，得到该稳定化有限元方法关于拉梅常数的一致收敛最优解。针对Darcy-Stokes问题，构造出新的非协调矩形单元，得到了非协调矩形单元对该问题的二阶误差估计结果。讨论混合有限元离散解的存在唯一性，运用代数学理论和方法，减弱了已有文献中证明的条件，给出了混合有限元存在唯一解的新的证明方法, 改进了已有文献中的结果。对于Stokes问题，构造了新的Bernardi-Raugel三棱柱单元，并得到误差估计结果。针对带间断系数的扩散问题，推导了各向异性网格下有效的局部重构型后验误差估计。通过数值算例验证了上述方法的有效性。