超空间动力系统的拓扑传递性研究

As a branch of dynamic system theory, Chaos has permeated various disciplines and fields, and has become one of the cores in nonlinear science. Topological transitivity is a global property which is one of the essential features characterizing the chaos in dynamical systems.. Based on space theory of functional analysis，this project investigates topologicial transitivity and related prolems for hyperspace dynamcial systmes by using differential inclusion theory. It includes: (1) the research of topologicial transitivity and Sensitive dependence on initial conditions for connectted compact hyperspace dynamical systems and weakly compact connectted hyperspace dynamial systems; (2) the research of topological transitivity, weak mixing and mixing for continuous hyperspace dynamial systems. The research of this project will enrich and develop the chaos theory of dynamic systems. It will not only promote our understanding for hyperspace dynamic systems, but also contribute to the interdisciplinary integration and development of functional analysis, differential inclusions and dynamic systems.

动力系统中的混沌作为一个新兴的理论已经渗透到各个学科和领域，已成为非线性科学的中心内容之一。拓扑传递性是动力系统中刻画混沌的更本质的全局特征之一。. 本项目以泛函分析理论为基础，结合微分包含理论，研究超空间动力系统的拓扑传递性及相关问题。主要内容有：(1)连通紧超空间动力系统和弱紧超空间动力系统的拓扑传递性及初始条件敏感依赖性研究；(2)连续超空间动力系统的拓扑传递性，弱混合性，混合性的研究等。本项目的研究是动力系统混沌理论的丰富和发展，是超空间动力系统理论深化与完善，同时也将促进泛函分析，微分包含，动力系统等学科的交叉发展。

本项目重点考虑了诱导超空间动力系统的拓扑传递性及相关的动力学性态。首先讨论了超空间连续动力系统的拓扑传递性。基于Roman-Flores和 Peris的工作，证明了如果底空间是紧的，那么诱导超空间连续流(K (X); F)的拓扑传递性意味着底空间连续流(X; f)的传递性。更为重要的是，我们通过构造特殊的反例来表明以上结论的逆命题不成立。进一步, 证明了超空间连续流(K (X); F)的拓扑动力传递性和其底空间X上连续流(X; f)的弱混合性是等价的。本部分成果已经形成论文并已经发表。另外，我们也考虑了超空间连续动力系统的周期点周密性问题。证明了当底空间是连通紧一维流形时，超空间连续流(K (X); F)和其底空间连续流(X; f)的周期点稠密性等价的。并通过构造球面上的特殊例子来表明，当维数高于1时，上面的等价关系不再成立。本部分的研究成果已写成论文并已投稿。.. 另一方面，在本项目中我们也研究了一些实际系统的长时间行为，驻波解的存在性等动力学性态，并得到了如下的几个结果：建立了具有非线性边界控制的Kirchhoff系统的衰减率的估计；证明了旋转对称有界域上的非齐次Klein-Gordon-Maxwell系统的多解的存在性；以及分析了具有线性和梯度阻尼项的一类耗散动力系统的衰减性。本部分的研究成果分别写成论文并已经发表。本项目的研究结果是动力系统理论的丰富和发展，是超空间动力系统理论深化与完善，同时也促进了泛函分析，动力系统等学科的交叉发展。