具强相互作用动力系统的空间模式研究

In this project, we will study the spatial segregation of the solutions and regularity of emerging free boundaries to a class of strongly interacting dynamic systems. These systems arise in Bose-Einstein condensates and in competing models in population dynamics. We will establish the uniform bounds for solutions based upon the blow up technique, the monotonicity formula and the corresponding Liouville type theorem, and study the regularity of the emerging free boundaries through some geometric measure theory. Finally, we study some further properties of the singular set by establishing Weiss type and Monneau type monotonicity formulas.

本项目研究一类具强相互作用动力系统解的相分离现象以及由此产生自由边界的正则性。这类问题来源于Bose-Einstein凝聚态以及种群动力学中的生物竞争模型。我们将借助单调公式、Liouville型定理、blow up分析等证明系统解关于竞争参数的一致界估计；然后利用几何测度理论讨论自由边界的正则性；最后，通过建立奇异极限系统对应的Weiss型和Monneau型单调公式，对自由边界奇异部分的性质作进一步刻画。

本项目研究了一类具强竞争作用动力系统解的相分离现象以及由此产生自由边界的几何性质。这类问题来源于Bose-Einstein凝聚以及种群动力学中的生物竞争模型，获得的主要结果有：（1）我们研究了来源于生物竞争模型的强耦合椭圆系统，讨论了奇异极限问题解的进一步性质。我们给出了自由边界的内部Hausdorff测度估计，并证明极限时的自由边界问题具有变分结构，且解是唯一的，是某个能量泛函的极小。（2）刻画了具分数次Laplace算子的奇异扰动问题解的零点集结构。相对于经典BEC模型，分数次模型的零点集结构有新现象发生，我们证明了零点集除了正则和奇异部分外还有第三类点存在，这类点的Hausdorff维数有可能达到n-1,但其具体性质尚不清楚，有待进一步研究。（3）研究了若干带自由边界条件的抛物型方程组的动力学行为，证明了强竞争作用下系统解的支集相互分离，并建立了系统解关于竞争参数的一致界估计。