代数群作用下复射影簇的Lawson同调与morphic上同调

As one of the hot topics in geometry, the geometrical and topological properties of smooth manifolds(algebraic varieties) with group actions provides an excellent way to research smooth manifolds(algebraic varieties) themselves. Especially, in algebraic geometry, group actions play an vital role and is closely related to representations of group, mirror symmetry, moduli space and so on. In the past decades, the geometrical and topological properties of algebraic varieties with algebraic group actions, especially with C^*-actions, are fruitfully studied and a large amount of important results are obtained. In this program, we consider the geometrical and topological properties of complex projective varieties with group actions from the viewpoints of the following two problems: (1)The Homology Basis Formula for Lawson homology of complex projective varieties with algebraic group actions; (2)The Homology Basis Formula for morphic cohomology of complex singular projective varieties with algebraic actions.

光滑流形(代数簇)在群作用下的几何与拓扑性质一直以来就是几何学中的一个研究热点，也是一种考察光滑流形(代数簇)本身性质的优良方法。在代数几何中，群作用占据着尤为重要的地位，它与群表示论、镜像对称和模空间等理论有着密切的联系。在过去的十几年中，代数簇在代数群特别是C^*的作用下的几何与拓扑性质已受到人们广泛的研究并取得了丰硕的成果。在本项目中，我们着重从以下两个问题为出发点来研究复射影簇上代数群作用的几何与拓扑性质：（1）代数群作用下射影簇Lawson同调的Homology Basis Formula；（2）代数群作用下奇异射影簇morphic上同调的Homology Basis Formula。

在代数cycle理论中，有效代数cycle的研究占有着重要的地位。在一定的拓扑限制下，有效代数cycle组成的空间本身也具有射影代数簇结构，称为周簇。到目前为止，人们发现更为深刻地理解周簇的结构是解决代数cycle理论中众多问题的关键。自然地，周簇的结构的研究成为了代数cycle理论中的一个重要课题。本项目着重考虑了复数域上周簇的同伦群的一些相关性质和及其计算方法。特别地，我们完全计算出了射影空间上所有周簇的前四个同伦群。除此之外，本项目还研究了全纯泊松流形的全纯Koszul-Brylinski同调的胀开公式及其应用，探索了全纯泊松流形上Dolbeault复形的Formality性质和形变问题。