涉及两族分担和双曲度量的正规性

Normal family theory of meromorphic functions is one of the mainstream directions in classical complex analysis, which has not only great theoretical significance but also powerful applications to complex dynamical systems, complex differential equation, the mode distribution theory and uniqueness of meromorphic functions. .The purpose of this project is to enrich and deepen the theory of normal family, and obtain some applications to other fields. An important new idea of this project is, from a novel viewpoint of two families concerning shared values and hyperbolic metric, to study the normality of family of meromorphic functions. The main research contents include the following points. Frist of all, for the normality of two families concerning shared values, we will reveal the connection between the normality of a general function family and that of another. Furthermore, we will investigate the above problem for two special function families with internal relations. Secondly, for the normality concerning hyperbolic metric, we will establish some normal criteria in order to extend the application of normality, based on the essential nature of hyperbolic metric. Finally, we will seek some applications of the obtained results in one-dimensional spaces; at the same time, we will generalize the above results to high dimensional spaces and consummate the normality theory of holomorphic curves and holomorphic mappings.

亚纯函数正规族理论的研究是复分析领域中的主流方向之一，它不仅本身具有重要的理论意义，而且在复动力系统、复微分方程、模分布及亚纯函数唯一性理论中都存在很高的应用价值。 . 本项目旨在深化和拓展亚纯函数正规族理论，获得该理论在其它领域的各种应用成果。主要研究思路是从两族分担和双曲度量这两个全新的角度，对亚纯函数族的正规性展开相关的理论研究。具体研究内容如下：首先，在涉及两族分担的正规性方面，将揭示一般的两族函数正规性之间的关系，并进一步研究特殊的具有内在联系的两族函数正规性之间的关系；其次，为了进一步拓展正规性的应用，在涉及双曲度量的正规性方面，将基于双曲度量自身的特殊性质，建立一些便于应用的正规定则；最后，在寻求一维空间相关结果各种应用的同时，将这两方面的结果本质地推广到高维空间，完善关于全纯曲线族和全纯映射族的正规族理论。

本项目的研究背景是在亚纯函数正规族自身理论发展相对成熟的前提下,探索该理论的各种应用。 项目的主要研究内容包括三方面：1）讨论涉及两族分担的正规性理论；2）讨论涉及双曲度量的正规性问题；3）讨论这两方面理论之间的联系,并将以上两方面的结果本质地推广到高维空间。 所得到的主要研究结果包括: 1）研究了涉及例外函数的全纯函数族的正规性,该结果完善了刘晓俊等人在2011年的相关工作。特别地,研究讨论函数没有不动点的情况下,全纯函数族的正规性；2）研究一类特殊的函数族,族中函数满足一定条件,描述出该族函数的主要特点,基本上确定了函数的形式； 3）研究了两族函数,族中函数满足某些公共条件,利用双曲度量的知识,由其中一族正规推导出另一族也正规。 这些研究结果深化和拓展了亚纯函数正规族理论,丰富和发展了正规族理论的应用理论。