正规族理论与Picard型定理的新研究

Normal family and value distribution theory of meromorphic functions is an important research in the functions of one complex variable, which has close connections to complex differential equations, uniqueness theory and complex dynamical systems. The theory of normal family studies the sequential compactness of a family of functions in the spherical metric. It plays a crucial role in the further study of properties for the meromorphic functions. And value distribution theory mainly studies distribution of the roots of f(z)=a , where the function f and a are a meromorphic function and a complex constant respectively. We will conduct the research from the following aspects: (1) To explore normal criteria concerning the sequence of omitted functions. (2) To study the properties of a family of functions at the non-normal points. (3) To explore the relationships between normal functions and normal families, and establish some criteria of normal functions. (4) To study some Picard type theorems concerning small functions in value distribution theory.

正规族与值分布理论是单复变函数论中的重要研究领域，它们与复微分方程、唯一性理论及复解析动力系统的研究有着密切的联系。正规族理论主要研究一族函数在球面度量下的列紧性，对进一步研究亚纯函数的性质起着重要的作用。而值分布理论主要研究方程f(z)=a在复平面内是否有根以及根的分布等问题，其中f 是一个亚纯函数， a是任意一个复数。我们将从如下几个方面进行研究：(1)探索涉及例外函数列的正规定则。（2）研究涉及例外函数列的函数族在不正规点处的性质。(3)探索正规族与正规函数的关系，建立正规函数的判别准则。(4)研究值分布论中的涉及一般小函数的Picard型定理。

亚纯函数正规族与值分布理论是复分析中的一个重要研究领域，对进一步研究亚纯函数的性质起着重要的作用。我们首先研究了涉及例外函数列的正规定则,得到了涉及高阶导函数与例外函数列的正规定则；其次，探索了涉及例外函数列的函数族在不正规点处的性质，得到了涉及高阶导函数的相关结果；再次，研究了正规族与正规函数的关系，得到了涉及导数与分担集合的正规函数的判别准则；最后，研究了具有特殊形式小函数的Picard型定理，分别得到了小函数是有理函数乘以正弦函数、多项式函数乘以正弦函数和莫比乌斯变换与指数函数的复合函数的Picard型定理。