全局 Hölder tilt-稳定性与度量正则性

Through the researches on the tilt-stability of a minimal point when an objective function is tilted by adding a small linear term led by Rockafellar, Mordukhovich and others, we know that for the pair (q,p)=(2,1) and for a certain extended real-valued function f on a Banach space X, there are intimate relationships between the local properties (a) u is a stable q-order minimal point of f on a ball B(u,r) with center u and some (finite) radius r, (b) u is a tilt-stable p-order minimal point of f on some B(u,s), and (c) The subdifferential map of f satisfies some metric p-regularity at u for the origin in the dual. Zheng and Ng [20] identified such relationships true exactly when the pair (q,p) is “matched” in the sense that q=(p+1)/p, and we shall continue to work on matched pairs and, more generally, on matched pairs of functions, in two aspects: one is on the global aspect (namely the ball B(u,r) in (a) and B(u,s) in (b) are replaced by the whole space), and the other is on the aspect to provide quantitative relationship among r and s, and to conduct convergence analysis especially in dealing with algorithms.

近来Rockafellar与Mordukhovich等众多学者研究了目标函数经“小的”线性函数扰动后优化解的tilt-稳定性，他们证明了对于序对(q,p)=(2,1)以及一个Banach空间X上的广义实值函数f，下述几个局部性质之间存在十分紧密的联系: (a)存在正数r使得u是f在球B(u,r)上的稳定q-阶极小值点；(b)存在正数s使得u是f在球B(u,s)上的p-阶tilt-稳定极小值点；(c)f的次微分映射在(u,0)点p-阶度量正则。Zheng与Ng[20]证明了上述性质对满足q=(p+1)/p的任意“匹配”序对(q,p)之间仍然存在十分紧密的联系。我们将从以下两方面来进一步研究函数的匹配关系:一方面是从全局优化的角度来研究(即用整个空间代替(a)中u的球形邻域B(u,r)以及(b)中的B(u,s))，另一方面是寻找半径r与s之间的定量关系并通过所得结果来考虑某些算法的收敛性。

全局优化问题在经济模型、金融、数据库、集成电路设计、网络交通、图象处理、化学工程设计及控制、分子生物学、环境工程学等许多领域有着广泛的应用。许多其他科学领域的问题也可归结为全局优化问题。注意到优化问题中的tilt-稳定极小值、稳定二阶（或q-阶）极小值点、稳定的φ-局部适定性及ψ-tilt-稳定极小值均是局部概念，即仅涉及到目标函数f的局部极小值点a的某个邻域B_X(a,r)，并且相关结果仅指出存在半径r，但没有给出其定量信息。因此这类结果虽然在理论上是有意义的，但是在一些实际应用中可能具有一定的局限性。例如，我们经常可能要应用这些稳定性的概念或者定理去考察由某个优化问题的算法所产生的迭代序列{x_n}的收敛性。但是，只知道存在半径r但没有其定量信息，我们无法知道x_n是否位于B_X(a,r)。动机于此及全局优化的观点，本项目考虑并且深入研究了全局优化问题中的tilt-稳定极小值、稳定q-阶极小值点及稳定的适定性， 其中部分结果甚至在凸的情形下都是新的。本项目取得的主要成果如下：.(1) 给定p∈(0,+∞)使得q=(p+1)/p，设a∈dom(f)是f的稳定q-阶全局极小值点，则f在a取得p-阶tilt-稳定全局极小值。其逆一般不成立..(2) 给定admissible函数ψ，证明了凸函数的次微分映射的全局ψ-度量正则与全局强ψ-度量正则是等价的..(3) 给定admissible函数ψ，证明了若目标函数f的次微分映射在0是全局强ψ-度量正则的，则f关于φ(t)=∫_0^tψ(s)ds具有稳定的全局φ-适定性..(4) 我们在一般的拓扑空间中建立了变分原理..(5) 我们考虑了具有变序锥结构约束优化问题的弱近似解并建立了相应的拉格朗日乘子法则...本项目成果在优化领域SCI期刊发表了论文8篇，其中1篇发表于中国数学会公布的数学领域高质量科技期刊分级目录中的T2期刊, 还有3篇发表于T3期刊。