纽结和图的多项式不变量

There have been some great advances abroad in combinatorial knot theory. Based on our previous works, in this project we shall first focus on the Jones polynomial invariant and its generalizations: Homflypt and Kauffman polynomials.By building their more general relations with graph polynomials, say, Tutte polynomial of weighted graphs and studying graph polynomials, we study the computation of knot polynomials of knots formed from graphs by tangle replacements, hoping to settle one of the basic open problems in the theory of knot polynomials whether the above knot polynomials detect the unknot， or make progress on the problem. We then study the distribution of accumulation set of zeros of knot polynomials which statistical physicists are interested in and conjectures on zeros of knot polynomials proposed by knot theorists. In addition, we shall also study the relation between polynomials of virtual knots (say, Miyazawa polynomials) and Bollobas-Riordan polynomial of ribbon graphs, which is one of frontiers of the combinatorial knot theory.

用组合方法研究纽结在国外已有长足发展。本项目将在申请者的已有工作基础上，首先围绕纽结论中的Jones多项式及其推广Homflypt和Kauffman等多项式不变量展开。我们将建立上述纽结多项式与图多项式（如，赋权图的Tutte多项式）的更一般的关系，通过图多项式研究纽结多项式不变量。研究的问题包括：大的"块状"纽结的上述纽结多项式的计算以期解决拓扑学家关心的上述多项式是否区分平凡纽结这一纽结多项式理论中基本的公开问题或推进此问题的研究；研究统计物理学家所关心的纽结多项式的零点的极限点分布问题和拓扑学家提出的有关纽结多项式零点的猜想。另外，我们还将研究virtual纽结（它是经典纽结的推广）的纽结多项式（如，Miyazawa多项式）与ribbon图的Bollobas-Riordan多项式的关系，这是当前组合纽结论研究的一个前沿领域。

用组合图论方法研究纽结在国外被称之为组合纽结论。..本项目主要研究组合纽结论中的以下问题：“块状”链环的链环多项式的计算、纽结多项式的零点和virtual纽结多项式与图多项式的关系。纽结多项式与图多项式密切关联，前两个研究内容都不仅涉及纽结多项式，还涉及图多项式。第三个研究内容涉及带子图的部分对偶。主要研究进展和成果如下：.a.建立了一类“块状”链环的HOMFLYPT多项式的计算方法，即将大链环切割成小块，得到了相应多项式的组装方式。.b.找到了图的Jones多项式零点的模关于图的最大度的一个界，部分验证了X.-S. Lin的猜想。在实零点研究方面也取得了进展，证明了Jones多项式的零点可无限接近0和1。.c.在探索虚纽结多项式与图多项式的关系方面，研究工作做了些调整。先研究了带子图，我们通过中间图半边定向刻画了带子图的哪些部分对偶图是Euler图，该研究解决并推广了文[S. Huggett, I. Moffatt, Bipartite partial duals and circuits in medial graphs, Combinatorica 33 (2) (2013) 231-252]中提出的一个公开问题。..其它相关方面: 研究了经典Pretzel链环的HOMFLY和Kauffman多项式的计算；给出了具有自相似结构的两类图（MKGs和Austria graphs）和一类六角系统图的Tutte多项式的计算方法；研究了流多项式的零点分布；研究了纽结的辫子指标和着色；研究了图的特征多项式的零点；研究了clique-inserted图的临界群等等。..以上研究不仅局限于图论和纽结论方面，还与数学的其它学科密切相关，如拓扑学和代数学等。除了数学，项目研究内容还涉及统计物理、数学化学和分子生物学。所取得的成果除了具有重要的理论意义，有些成果（如DNA和蛋白质多面体链环方面的结果）还存在潜在的应用价值。