几类非线性椭圆型方程(组)的多解性

In this project, we consider the existence of solutions and its properties for some nonlinear elliptic equations and systems. Firstly, we study the multiplicity of solutions for Lane-Emden elliptic systems, and analyze the properties of solutions. Secondly, we investigate the existence and multiplicity of solutions for some elliptic equations with mixed Sobolev growth, we also consider the concentration phenomenon of solutions, this part includes Laplacian Dirichlet boundary value problem, Laplacian Neumann boundary value problem and fractional Laplacian problem which has attracted lots of attention by many researchers.

本项目主要讨论几类非线性椭圆型方程或方程组多解的存在性以及解的性质。首先，我们考虑Lane-Emden椭圆型方程组的多解存在性，以及解的相关性质。其次，我们探讨几类带有混合Sobolev指数增长的非线性椭圆型方程解的存在性、多解性与解的集中现象，此结果主要包括拉普拉斯算子的Dirichlet边值问题与Neumann边值问题、以及近些年备受国内外学者关注的分数阶椭圆型方程问题。

本项目计划研究两部分内容。第一部分，研究Lane-Emden椭圆型方程组的多解性及其解的性质, 得到了Lane-Emden方程中指数p,q位于Joseph-Lundgren临界曲线下方时，问题解的存在性与多解性。 第二部分，探讨几类带有混合Sobolev 指数增长非线性椭圆型方程解的存在性、多解性与集中现象。首先，我们考虑了全空间上带有混合指数非线性项问题Bubble-Tower解的存在性以及有界区域上Neumann边值问题Bubble解的存在性。其次，讨论了具有凸凹非线性项的分数阶椭圆型方程与方程组。再次，探讨了分数阶p拉普拉斯椭圆问题解的存在性、多解性、变号解及其解的相关性质。最后，我们研究了紧黎曼流形上分数阶Yamabe问题具有某种集中现象解的存在性。