非线性椭圆型方程多解问题的高精度算法

There exist multiple solutions for a large number of nonlinear elliptic equations arising in science and engineering computation. These equations may have multiple or even infinite solutions. With the increasing of the Morse index of these equations, the solution will oscillate rapidly. Particularly, the peak of the solution will occur at the surface as the Morse index of solutions growing very large. How to effectively find these solutions has become a great challenge in the field of scientific computing. In this project, we shall propose some new algorithms for the nonlinear elliptic equations with multiple solutions, using new augmented Newton method, symmetry breaking bifurcation theory and spectral method. More precisely, new augmented Newton method of p-Laplace elliptic equation without a variational structure；high accuracy algorithms for multiple solution of singular elliptic equations boundary value problem with Sobolev critical exponent and the high accuracy bifurcation methods of four order nonlinear elliptic equation boundary value problems. The achievements of this project would not only enrich the numerical methods of partial differential equations; provide new ideas and new methods for the theoretical research of partial differential equations, but also have important theoretical significance and application prospects.

科学及工程计算的诸多领域涌现出大量的非线性椭圆型方程，这些方程可能有多个甚至无穷多个解，特别当方程的Morse指标很大时，其解会出现极陡峭的边界峰和内部峰。因此，如何对这些方程进行高效数值求解，已成为当前科学计算领域的巨大挑战。本项目拟运用新扩张牛顿法、对称破缺分歧理论和谱方法，研究非线性椭圆型方程多解问题的新算法。主要研究内容包括：不带变分结构p-拉普拉斯椭圆型方程的新增广牛顿法；带有奇异项和Sobolev临界指数项的椭圆型方程边值问题多解的高精度算法以及非线性四阶椭圆型方程边值问题多解的高精度分歧算法。这些问题的解决将丰富和发展偏微分方程的数值解法，为偏微分方程的理论研究提供新思路和新途径，具有十分重要的理论意义和潜在的应用价值。

科学及工程计算的诸多领域涌现出大量的非线性椭圆型方程，这些方程可能有多个甚至无穷多个解，如何对这些方程进行高效数值求解，已成为当前科学计算领域的巨大挑战。本项目针对几类非线性椭圆型方程多解问题的高精度数值方法展开了系统深入的研究，取得了一系列重要成果，主要包括：1）构造了基于虚拟几何对象的极小极大算法，分别解决了无限维空间无约束问题的多鞍点计算和有约束问题的多鞍点计算；2）针对不带变分结构的p-拉普拉斯椭圆型方程，设计了新增广牛顿法，解决了这类问题的多解计算；3）构造了一种正交选择函数，改进了已有的局部极小正交化方法，建立并证明了某子流形上全局分离定理和局部分离定理，该定理为数值计算非线性椭圆型方程多解的基础，得以完全解决该类多解问题；4）引入一种新的增广变换, 发展了改进的偏牛顿校正算法, 建立了四阶非线性椭圆型方程边值问题的新解与该问题零核空间的密切关系，成功计算得到该类问题的多解。此外，我们还在与本项目密切相关的领域取得了一些重要进展，譬如：非线性多项式的Cahn-Hilliard方程隐式Euler格式的长时间稳定性。项目执行期间，课题组累计在计算数学领域的知名刊物 Journal of Scientific Computing、Journal of Computational and Applied Mathematics 和 Applied Numerical Mathematics等发表论文25篇，其中SCI收录22篇, 23篇标注本项目资助号, 基本完成拟定计划和目标。本项目的研究成果进一步发展和丰富了微分方程的数值解法，为微分方程的理论研究提供新思路和新途径，具有十分重要的理论意义和潜在的应用价值。