非线性(退化)椭圆方程解的存在性与唯一性

Nonlinear elliptic equations have significant applications in Physics and Geometry. The solvability of many problems in Physics and Geometry can be due to the existence and behavior of solutions for the corresponding nonlinear elliptic equations. Our project mainly deals with the existence, uniqueness and concentration behavior of solutions for some nonlinear elliptic equations. Details are as follows:.I, The behavior of solutions which concentrate at multiple points for Brezis-Nirenberg problem..II, The existence of solutions with concentration behavior for steady fluid equations..III, The uniqueness of solutions with concentration behavior for Schrödinger–Newton equation and Bose-Einstein condensates with Hartree energy functional..IV, The existence, uniqueness and symmetry of solutions for nonlinear infinitely degenerate elliptic equations with critical Sobolev exponents. ..We plan to use the following methods: finite-dimensional reduction, Pohozaev identity, priori estimate, regularity theory, maximum principle, logarithmic regularity estimate, the basic theory in ODE, etc.

非线性椭圆方程在物理和几何中有重要的应用，很多物理和几何中的问题的解决归结为相应的非线性椭圆方程是否有解及解的性态。本项目主要研究几类非线性椭圆方程解的存在性、唯一性与集中性等。具体研究：.1，Brezis-Nirenberg问题集中在多个点的解的性态。.2，稳态流体方程具集中现象的解的存在性。.3，薛定谔-牛顿方程和Hartree型波色-爱因斯坦凝聚问题具集中现象的解的唯一性。.4，具临界指标的非线性无穷阶退化椭圆方程的解的存在性、唯一性与对称性。 ..拟计划的研究方法如下：有限维约化、Pohozaev恒等式、先验估计、正则性理论、极值原理、对数正则性估计、ODE的基本理论等。

项目申请人按照项目申请书中拟定的研究计划，积极开展原创性的理论研究，在此项目的执行期间主要取得了如下三个方面的研究成果：..I. Brezis-Nirenberg问题。Brezis-Nirenberg问题是经典的椭圆方程问题。自二十世纪80年代以来吸引了一大批数学工作者。但是目前来说解的个数问题一直是一个公开的问题。项目申请人与合作者通过对此问题的正解建立相应的局部Pohozeav 恒等式并用之分析正解的结构和集中点的位置，结合有限维约化方法、爆破分析和极值原理等，给出了正解个数的精确刻画。..II. 薛定谔方程、薛定谔-牛顿方程。薛定谔方程、薛定谔-牛顿方程来源于物理中的非线性光学，对于此问题解的存在性的结果相对比较完善，但是对于此问题的集中解的唯一性和解的个数的刻画相对结果很少。项目申请人与合作者发展并应用基于爆破分析的Pohozeav恒等式的方法对薛定谔方程、薛定谔-牛顿方程解的唯一性、对称性等给出一系列有意义的结果。..III. Kirchhoff方程。Kirchhoff方程来源于物理中的弹性力学，用来刻画弦振动方程的模型。稳态的Kirchhoff方程刻画的是弦振动方程平衡态的现象。这方面的结果比较丰富，主要是用变分方法。此项目执行期间，项目申请人与合作者证明了此方程解的极限方程的非退化性，进而首次用有限维约化的工具研究此类方程，取得了一系列的结果。 ..上述科研结果发表在Trans. Amer. Math. Soc.、Calc. Var. Partial Differential Equations、J. Differential Equations、Nonlinearity、Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A等国际数学期刊上。