几类退化型非线性椭圆方程解的性态研究

Our project mainly deals with the existence and multiplicity of solutions and sign-changing solutions for nonlinear degenerate elliptic equations, as well as the regularity of solutions. These problems include nonlinear degenerate elliptic equations on singular manifold（such as cone, edge, corner）and infinitely degenerate elliptic equations. The above two degeneration do not satisfy the Hormander condition. The usual tools are not available, and we need to introduce new theory. Schulze (a professor in Germany) and Melrose (a professor in America) established the pseudo-differential operator algebra theory on singular manifold and its application in Geometry was presented. Morimoto (a professor in Japan), Kohn and Christ (professors in America) depicted the infinitely degenerate elliptic operators from the point of Analytics and Geometry. We will focus on the behavior of solutions for above nonlinear partial differential equations. Details are as follows:.I、We will establish some fundamental inequalities on singular manifold (cone, edge, corner), such as Pohozaev identity, Moser-Trudinger inequality and Hardy inequality. Then, we will research the existence and multiplicity of solutions and sign-changing solutions for nonlinear degenerate elliptic equations on singular manifold..II、We will research the existence and regularity of solutions for infinitely degenerate elliptic equations with sign-changing coefficient or critical index.

本项目主要研究非线性退化椭圆方程的解和变号解的存在性及其多重性，以及正则性等，包括奇异流形（如锥、楔、角）上的非线性退化椭圆方程和无穷阶退化椭圆方程。这两类退化均不满足Hormander条件，以往的工具不再适用，需要新的理论。德国的Schulze教授与美国的Melrose教授等分别建立了奇异流形上的拟微分算子代数理论，并给出了其在几何中的应用。日本的Morimoto教授和美国的Kohn,Christ教授等从分析和几何的角度刻画了无穷阶退化椭圆算子。本项目主要研究上述非线性偏微分方程解的性态。具体如下： . 一、在奇异流形（锥、楔、角）上建立一些重要的不等式，如Pohozaev恒等式，Moser-Trudinger不等式，Hardy不等式等，并考察其上的非线性退化椭圆方程的解和变号解的存在性及其多重性。. 二、研究带变号系数或具临界指标的无穷阶退化椭圆方程解的存在性和正则性

本项目主要研究非线性退化椭圆方程的解和变号解的存在性及其多重性，以及正则性等，包括奇异流形（如锥、楔、角）上的非线性退化椭圆方程和无穷阶退化椭圆方程；这类问题来源于应用学科领域，有着深厚的几何和物理背景。重点是研究：1、对于一类带渐近线性项的锥奇性非线性退化椭圆方程，建立了适当的Pohozaev恒等式，得到解的不存在性；并利用限制在Pohozaev流形上的环绕理论的方法，建立了非平凡正解的存在性。2、建立了锥奇异流形上的Moser-Trudinger不等式，进一步会考虑将其应用于非线性椭圆方程解的性态的研究。3、在楔奇异流形上引入了两种奇异势函数，建立了相应的Hardy型不等式，得到最佳常数；并考察了相应的带奇异位势的楔奇性非线性退化椭圆方程，建立了解和变号解的存在性和多重性。4、对于一类带扰动项的角奇性非线性退化椭圆方程，建立了解和变号解的存在性和多重性。5、对于一类带变号系数的无穷阶退化椭圆方程，建立了适合对数非线性项的Nehari流形，然后结合对数Sobolov不等式得到至少两个正解的存在性。在本项目执行期间，我们共发表SCI论文4篇。