莱布尼兹代数和左对称超代数的Gröbner-Shirshov基理论及其应用

Leibniz algebras are nonantisymmetric generation of Lie algebras and closely related to derivations. Left-symmetric algebras were firstly introduced by A. Cayley in 1857. Left-symmetric structures appear in many research fields of physics and mathematics: differential geometry、quantum field theory、differential equations、algebras and so on. Left-symmetric superalgebras were introduced by Gerstenhaber in 1963 when he was studying the Hochschild cohomology of associative algebras. These algebras are closely connected with the classical Yang-Baxter equation in Lie superalgebras. Free objects、word problems and embedding problems are hot topics at present. Gröbner-Shirshov bases theory is a very powerful tool on researching such problems. This project is mainly to find Hall-Shirshov type bases and establish Gröbner-Shirshov bases theories for Leibniz algebras and left-symmetric superalgebras. We try to prove the classical embedding theorems for Leibniz algebras and left-symmetric superalgebras, and solve the word problem for one-relator left-symmetric superalgebras by using Gröbner-Shirshov bases theory.

莱布尼兹代数是李代数的非反交换的情形且与导子之间有着密切的联系。左对称代数由A.Cayley于1857年首次提出。左对称代数结构出现在数学和物理的许多研究领域：微分几何、量子场论、微分方程、代数学等等。左对称超代数是Gerstenhaber在1963年研究结合代数的Hochschild上同调时引入的。它与李超代数中经典的Yang-Baxter方程有着密切的联系。研究代数系统的自由对象，字问题和嵌入问题是当前的热门课题。Gröbner-Shirshov基理论是研究上述问题的强有力的工具。本项目主要构造自由莱布尼兹代数和自由左对称超代数的Hall-Shirshov类型的线性基底并建立相应代数的Gröbner-Shirshov基理论。尝试应用即将建立的Gröbner-Shirshov基理论给出莱布尼兹代数和左对称超代数的经典嵌入定理，并解决一关系左对称超代数的字问题。

本项目研究了一些重要的李代数、左（右）pre-李代数（也称左（右）对称代数）、 Leibniz代数、 brace代数、广义Weyl代数的嵌入问题，字问题，自由对象，子代数，Gelfand–Kirillov维数。 . 本项目得到了下面的研究成果：（1）建立了Brace代数的Groebner–Shirshov 基理论，证明了左pre-李代数（也叫左对称代数）簇和Brace代数簇对是PBW对。（2）证明了：设D为一个交换代数，A是以D为基代数的次数为1的广义Weyl代数，那么A和D的Gelfand–Kirillov维数的差为整数或无穷大。（3）证明了任何可列生成的结合(李)代数都能嵌入一个二元生成的单结合(李)代数。（4）找到了Drinfeld–Kohno李代数的Groebner–Shirshov基并证明了作为Z模Drinfeld–Kohno李代数是自由的，还给出了的Z-线性基底。（5）找到了自由右pre-Lie代数的Hall-Shirshov型基，证明了著名的Segal基也是一种Hall-Shirshov型基。（6）找到了自由莱布尼兹代数的非结合Groebner–Shirshov基从而得到了自由莱布尼兹代数一个线性基底。证明了任何非结合代数都能嵌入一个单非结合代数，任何可列生成的非结合代数都能嵌入一个二元生成的单非结合代数。（7）证明了任何可列生成的结合微分代数都能嵌入一个二元生成的单结合微分代数。