左对称超代数的上同调及左对称超双代数的研究

Left-symmetric algebras and superalgebras are of importance because of their roles in Lie theory, differential geometry and mathematical physics.This project is devoted to an investigation into left-symmetric superalgebras and some related algebraic structures. Firstly, we discuss the cohomology and deformation theories of left-symmetric superalgebras and investigate the connections between the cohomologies of left-symmetric superalgebras and Lie superalgebras. Moreover,we study the properties of left-symmetric superbialgebras and our study leads an equation in the left-symmetric superalgebra which is an analogue of the graded classical Yang-Baxter equation in a Lie superalgebra.

左对称代数和左对称超代数的研究在李理论、微分几何及数学物理等领域起着重要的作用。本申请项目主要研究左对称超代数及某些相关的代数结构。首先，研究左对称超代数的上同调和形变理论，讨论左对称超代数的上同调与李超代数的上同调之间的关系。其次，研究左对称超双代数的相关性质，并且诱导出与李超代数上的分次经典杨-巴斯特方程类似的左对称超代数上的方程。

本项目研究了左对称超代数及某些相关的代数结构。首先，通过李超代数上的可逆的1-上循环构造出了单李超代数sl(2|1)上的全部左对称超代数结构，并证明了sl(n|1)（n>2）上没有左对称超代数结构，该研究结果引入了应用李超代数的表示论研究左对称超代数的方法，另外，单李超代数sl(2|1)上存在左对称超代数结构的结果也为李超代数与李代数的差别提供了很好的例子；其次，研究了左对称超代数的上同调理论，建立了左对称超代数的上同调与邻接李超代数的上同调之间的联系；第三，研究了左对称超双代数及上边缘左对称超双代数，证明了任意有限维左对称超双代数可以嵌入到上边缘左对称超双代数中，并通过左对称超代数的O-算子构造了分次S-方程的偶的超对称解；最后，分类了三维和四维的复ω-李代数，得到了全部非李代数的复单ω-李代数，计算了低维复ω-李代数的导子和自同构，还得到了ω-李代数的表示理论的一些结果。