一类等熵可压缩Navier-Stokes型方程组的大初值整体解

This project intends to study a class of coupled equations of compressible fluid and particles, namely, the isentropic compressible Navier-Stokes equations and the Cucker-Smale-Fokker-Planck equation are coupled by the friction force generated by the relative velocity. At present, the results of the coupled equations of fluid and particles under small initial data are well-established, but for the corresponding results with large initial data are few, especially when the density may contain vacuum. Precisely, we will study the global existence of strong solutions to three dimensional coupled system of isentropic compressible Navier-Stokes-Cucker-Smale-Fokker-Planck equations with large oscillations and vacuum. Moreover, the global existence of weak solutions with finite energy to three dimensional coupled system will be established. Furthermore, we will consider the global existence of strong and classical solutions to two dimensional isentropic compressible Navier-Stokes-Cucker-Smale-Fokker-Planck equations with large intial data and vacuum.

本项目拟研究一类可压缩流体和粒子相耦合型方程组，即由等熵的可压缩Navier-Stokes方程组与Cucker-Smale-Fokker-Planck方程通过相对速度产生的摩擦力相耦合构成。目前这类流体与粒子相耦合型方程组在小初值扰动下的研究结果已很是丰富，但对大初值的情形特别是密度函数可能含有真空出现时，相关的结果还不多见。具体地，我们将研究：三维等熵可压缩Navier-Stokes-Cucker-Smale-Fokker-Planck型方程组在初始值具有大震荡以及流体部分的密度函数在初始状态下可能含有真空时强解的整体存在性以及这个耦合型方程组的有限能量弱解的整体存在性；二维等熵可压缩Navier-Stokes-Cucker-Smale-Fokker-Planck型方程组在大初值以及流体部分的密度函数在初始状态下可能含有真空时强解以及经典解的整体存在性。

Navier-Stokes型方程组的大初值问题的数学理论是非线性偏微分方程研究领域的焦点问题。在前期研究基础上，本项目主要围绕某些具体的可压缩流体力学方程组。具体地研究了，Navier-Stokes型方程组（微极流体力学方程组）与薛定谔方程相耦合系统所构成的长波-短波方程组Cauchy问题的整体适定性，我们得到了二维情形下的经典解的整体存在性；等熵微极流体力学方程组的耗散型测度值解的存在性以及弱-强唯一性；进一步还考虑了带有滑移边界条件的方程组的强解和弱解的存在性，以及弱-强唯一性。非等熵微极流体力学方程组，在初值可能含有真空以及大振荡的情形下强解的整体存在性。这些问题的研究丰富了相关数学问题，同时助于我们理解对应的物理现象。