非等熵可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程的大初值整体光滑解

The compressible Navier-Stokes-Korteweg equations can be used to model the motions of compressible viscous fluids with internal capillarity. Its mathematical theories provide many challenging problems and thus attract much attention from the mathematical community. Up to now, although the results for the case of small initial perturbation are well-established, the corresponding results with large initial data are fewer. The study for the case of the lager initial data is important in both Mathematics and Physics. The main purpose of this project is concerned with the global existence and time-asymptotic behavior of smooth solutions to the non-isentropic compressible Navier-Stokes-Korteweg equations with the viscosity coefficient, capillarity coefficient and heat conduct coefficient depending on the density and/or the temperature. Precisely，we will study the global existence of smooth solutions with large initial data to the Cauchy problem of the one-dimensional compressible Navier-Stokes-Korteweg equations and consider the global nonlinear stability of some elementary wave patterns, such as the rarefaction waves and contact discontinuity, etc., for the one-dimensional compressible Navier-Stokes-Korteweg equations. Moreover, we will consider the global existence of spherically symmetric smooth solutions with large initial data to n-dimensional compressible Navier-Stokes-Korteweg equations in both the bounded annual domains and exterior domain.

可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程描述了一类具有内部毛细作用的粘性可压缩流体的运动规律。该方程数学理论的研究中存在着许多具有挑战性的问题，因而受到了众多国内外数学同行的关注。目前该方程在小初值扰动下的研究结果已很完善，但对大初值的情形，相关的结果还不多见。大初值情形的研究在物理和数学上都具有重要意义。本项目拟研究当粘性系数、毛细系数和热传导系数依赖于密度或温度时，非等熵可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程的大初值整体光滑解的存在性与渐近行为。具体地，我们将研究：一维非等熵的可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程Cauchy问题的大初值整体光滑解的存在性和一些基本波(如稀疏波和接触间断波)的整体非线性稳定性；n维非等熵的可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程在有界环形区域和外区域上大初值球对称光滑解的整体存在性。

本项目主要研究非等熵可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程的大初值整体光滑解的存在性与大时间行为。可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程描述了具有内部毛细作用的粘性可压缩流体的运动规律。该方程数学理论的研究是近年来偏微分方程领域内的一个热点问题。目前该方程在小初值扰动下的研究结果已很完善，但对大初值的情形，相关的结果还不多见。大初值情形的研究在物理和数学上都具有重要意义。在本项目中，我们主要得到了如下结果：(1) 当粘性系数和毛细系数均为密度的指数函数时，对一维等熵的可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程初值问题证明了在常数状态扰动下的大初值光滑解的整体存在性与大时间渐近行为；(2) 当粘性系数和毛细系数均为密度的光滑函数，且热传导系数是密度和温度的光滑函数时，对一维非等熵的可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程Cauchy问题得到了常数状态扰动下大初值光滑解的整体存在性与大时间行为；(3) 当粘性系数、毛细系数和热传导系数均为密度和温度的光滑函数时，对一维非等熵的可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程Cauchy问题证明了由粘性接触波和稀疏波构成的复合波的整体非线性稳定性。 此外，我们还证明了当物理系数均为常数时，一维非等熵的可压缩微极流模型Cauchy问题由粘性接触波和稀疏波构成的复合波的局部非线性稳定性。这里整体稳定性是指初始扰动可以任意大，局部稳定性是指初始扰动要求小。