随机生物数学模型平稳分布及周期解研究

Random phenomenon exists everywhere in ecological society, so to study the dynamics of biomathematical models with random perturbation has important significance in both theory and practice. This project intends to build some stochastic biomathematical models (including ecological systems and epidemic models) which are disturbed by white noise (both white noise and telephone noise or white noise, telephone noise and Lévy jumps), and study their dynamical properties based on the theory of stochastic analysis, the theory of differential equations and Lyapunov's function. The main research contents include the following three aspects: (1) Sharp sufficient conditions for the existence of a unique ergodic stationary distribution of stochastic biomathematical models will be obtained by establishing a new method; (2) The existence and stability of periodic solution to the stochastic biomathematical models will be studied by establishing a new method；(3) The critical value between persistence and extinction for each species will be estabilshed. By above research, this project aims at revealing the effect of environmental noise, predicting the changes in population size, and forcasting the epidemic trends of disease. Results of this project not only can enrich theory of biomathematics and stochastic differential equations, but also can offer a theoretical basis for the development and protection of ecological resources, the prevention and control of epidemic disease.

在生态社会中，随机现象无处不在，研究随机干扰下生物数学模型的动力学行为具有重要的实际意义和理论价值。本项目拟建立若干具有白噪音（白噪音与电报噪音或白噪音、电报噪音与Lévy跳噪音）干扰的随机生物数学模型（包括生态系统模型和传染病模型），综合随机分析、微分方程和Lyapunov函数等理论和方法，分析模型的动力学性质，具体内容包括：（1）建立一种可以得到模型具有唯一遍历性平稳分布的几乎充分必要条件的新方法；（2）建立研究具有周期系数的随机生物数学模型周期解存在性和稳定性的新方法；（3）建立物种生存与灭绝的阈值。通过上述研究，目的在于揭示环境噪音对模型性质的影响，更准确地预测种群数量的变化规律，预测疾病的发展趋势。该项目的研究不仅可以丰富生物数学及随机微分方程的理论，也将为合理开发与保护生态资源、预防和控制流行病传播提供理论依据。

在生态社会中，随机现象无处不在，研究随机干扰下生物数学模型的动力学行为具有重要的实际意义和理论价值。本项目主要建立了几类具有白噪音（白噪音与电报噪音或白噪音与Lévy跳噪音）干扰的随机生物数学模型，综合随机分析、随机比较定理和Lyapunov函数等理论和方法，分析了模型的动力学性质，具体内容包括：（1）建立了两个白噪音扰动的随机禽流感模型，分别给出禽流感在禽类子系统与禽类-人类系统中灭绝与持久的条件；此外，利用Has'minskii的理论，进一步证明了禽类-人类系统存在唯一遍历的平稳分布。（2）建立了几类白噪音与电报噪音共同干扰的随机传染病模型，通过建立合适的Lyapunov函数，得到了遍历性平稳分布存在的条件。（3）对于白噪音扰动的随机SVI模型，得到了疾病流行与消失的阈值，并且得到了模型平稳分布在确定性模型平衡点附近的精确表达式。（4）建立了白噪音干扰的具有一般疾病发生率的随机SVIR模型、白噪音和跳噪音共同高阶干扰且具有一般疾病发生率或一般功能反应项的随机SIR模型和随机捕食者-食饵模型，通过随机分析、随机比较定理和Lyapunov函数等方法得到了遍历性平稳分布存在的几乎充分必要条件。（5）利用周期解理论，得到了具有周期系数的随机互惠模型的非平凡周期解的存在性及边界周期解的全局吸引性。通过上述研究，揭示了环境噪音对模型性质的影响，丰富了生物数学及随机微分方程的理论，也为合理开发与保护生态资源、预防和控制流行病传播提供了理论依据。