多复变与复几何中的正性

The present project will study some important problems related to positivity of holomorphic vector bundles， including: Ohsawa-Takegoshi type extension thoerems; new characterization of positivity of vector bundles; minimum principle for plurisubharmonic functions and construction of positively curved metrics; and positivity of Hodge type bundles.

本项目主要研究多复变与复几何中与全纯向量丛正性有关的一些重要前沿问题，包括：Ohsawa-Takegoshi型延拓定理；向量丛正性的新的刻画；多次调和函数极小原理以及正曲率度量的构造; Hodge型向量丛的正性。

本项目研究多复变中L^2理论的逆及其几何应用，主要包括延拓定理的逆与向量丛的曲率正性、向量丛曲率正性的积分刻画、多次调和函数极小原理及其推广、以及Hodge型向量丛的曲率正性等。我们系统研究了上述内容，并取得一些重要成果，包括：1，构造了一类重要的有界域的完全线性不变量，并利用全纯函数的延拓定理来证明这些不变量构成的Hodge型向量丛的曲率具有Griffiths正性；2，给出多次调和函数和向量丛曲率Nakano正性的积分刻画，并由此给出Berndtsson关于Hodge型向量丛曲率Nakano正性结果的推广和全新简化证明；3，给出区域凸性和拟凸性的分析刻画；4，对黎曼向量丛和全纯向量丛证明了Prekopa型定理，推广了已有相关结果并大大简化了其证明；5，揭示了多复变中强拟凸性的全新的深刻的几何性质，首次证明了区域强拟凸族对应的直接像的曲率严格正性，并将相关结果应用于凸分析、复分析、以及丰沛向量丛的研究中。这些结果具有高度原创性，揭示了多复变与复几和中的一些全新现象，引起了国际同行的广泛关注和跟踪研究。