半线性退化扩散方程和方程组的Carleman估计和控制理论

This project concerns Carleman estimates and controllability theory for the control systems governed by semilinear degenerate diffusion equations and systems, especially the ones with general convection terms and multidimensional ones. We will study how to get Carleman estimates and other a priori estimates, and whether the control systems are exactly controllable or approximately controllable. Degeneracy and the existence of general convection terms cause essential difficulties, and the study is more complicated and difficult in the multidimensional case. The study in this project needs not only the classical theory of partial differential equations, but also the continual development and innovation in research tools and methods. The research results in this project can supply the important reference and guidance for practical problems, as well as enrich the theory of partial differential equations.

本项目计划研究由半线性退化扩散方程和方程组支配的控制系统的Carleman估计和控制理论，特别是含有一般对流项的情形和高维情形。我们将探讨如何建立这些退化扩散方程和方程组的Carleman估计和其它一些先验估计，进而研究由这些方程和方程组支配的控制系统的精确可控性和近似可控性。退化性和一般对流项的存在性给这些方程和方程组的先验估计和控制理论研究带来了本质困难，在高维情形更加复杂和困难。项目的实施不仅需要经典的偏微分方程理论知识，更需要研究工具和研究方法的不断拓展和创新。项目的研究成果既可以为实际问题提供重要的参考信息和理论依据，又可以丰富和发展偏微分方程的理论体系。

该项目研究来源于实际问题的在边界退化的半线性扩散方程和方程组的控制理论，而由这些方程支配的控制系统的控制理论目前还很不完善。该项目通过建立这些方程和方程组的Carleman估计和其它一些先验估计，进而研究了由这些方程和方程组支配的控制系统的精确可控性和近似可控性，探讨了空间维数，方程和方程组的退化程度和对流项对Carleman估计是否成立以及系统是否精确零可控的影响。利用经典的偏微分方程理论，结合不断发展和创新的研究工具和方法，取得了一些成果，主要包括：在边界退化的含对流项半线性抛物系统、非线性单耦合退化抛物系统和在边界退化的含低阶项耦合对流扩散系统的零可控性，半线性单耦合退化抛物系统以及双耦合线性和半线性退化抛物方程组初边值问题的近似可控性，以及两类非线性扩散方程组解的长时间渐近行为。在J. Dyn. Control Syst.、Electronic J. Differ. Equ.、Commun. Math. Res.等杂志发表论文8篇。