曲面映射类群Dehn twist之间的关系

Mapping class group is an important object in the research of geometric topology and geometric group theory. People are interested in how to describe the mapping class in various aspects. The basic tool in the research of the mapping class group is Dehn twist. This program concerns in two problems: (1) how to present periodic maps as products of Dehn twists? (2) How to find roots of Dehn twists?

曲面的映射类群是几何拓扑与几何群论的重要研究对象。怎样从各个角度刻画曲面的映射类群一直是数学界关心的问题。研究曲面映射类群性质的基本工具是Dehn twist。本项目主要研究曲面映射类群中有限阶元素写成较对称的Dehn twist乘积形式、Dehn twist的开根方式这些问题。

研究群在空间上的作用，是数学中一个非常核心的主题。曲面的映射类群，也称为模群，是由曲面上保定向自同胚的同伦类组成的群。它能非常自然地作用在曲面的双曲结构上、作用在曲面的复结构上、作用在由简单闭曲线组成的曲线复形上……因此它在双曲几何、复几何、代数几何、低维拓扑、几何群论等等现代重要数学领域中，都起着中心作用。. 本项目致力于研究曲面映射类群中Dehn twist生成元之间的关系。其中很重要的一个关系是灯笼关系。利用该关系可以大大地化简整个群的生成元集，并且把生成元的阶数从无限化简到有限。. 经过三年的项目研究，得到最重要的结果，是曲面映射类群可以取到非常简单的生成元集。只包含保定向同胚类的曲面映射类群，有限阶生成元个数可以降到只有4个，它们的阶数分别是2，2，2，3。而对于包含反定向同胚类的曲面扩展映射类群，我们得到一个非常好的结果：生成元个数只剩下两个，阶数分别是2和4g+2，其中g是曲面的亏格。. 这个结果有很重要的意义。因为2这个数字已经是下限了，不能再降低。仅由一个有限阶元素生成的群必然是循环群，不可能是曲面映射类群。这个结果相当于把该问题做到了尽头。曲面扩展映射类群能否只有两个有限阶元素生成这个问题从十多年前就被提出来，一直悬而未决。通过本项目的研究，把该问题彻底解决。