Heegaard分解的映射类群

Every compact orientable 3-manifold can be decomposed into two compression bodies of the same genus, which is called a Heegaard splitting of the manifold. Given a Heegaard splitting of a 3-manifold, the mapping class group of the splitting is the group of isotopy classes of orientation preserving diffeomorphisms of the manifold which preserve the splitting. The mapping class groups have been interesting objects in the study of Heegaard splittings and 3-manifolds. For example, there is an natural homomorphism form the mapping class group of a Heegaard splitting to that of the ambient manifold, and if the Hempel distance of the Heegaad splitting is sufficiently large, then this homomorphism is an isomorphism. Though it is necessary to research the mapping class groups of Heegaard splittings, it is often very hard to determine these groups. Furthermore, detecting whether such group is finitely generated is also hard. So we have following projects:.1.Determining that the mapping class groups of some specific Heegaard splittings are finitely generated. It is konwn that the mapping class group of a Heegaard splitting with Hempel distance greater than 3, is finite generated(actually finite!), and we believe that it is also hold if the distance is 3..2.Prove or disprove following results. (i) Suppose one Heegaard splitting has high distance, and another splitting has finitely generated mapping class group. Then the mapping.class group of their connected sum, is finitely generated.. (ii) the mapping class group of the Heegaard splitting which is amalgamation of two high distance Heegaard splittings, is finitely generated.

Heegaard分解是三维流形特有的分解,这个分解常常能将三维流形的问题转化为曲面的问题,因而在三维流形的研究中的有广泛的应用. .我们可以定义Heegaard分解的映射类群,这个群与流形的映射类群关系非常密切.特别的,当Heegaard分解的距离充分大时,这两个群是同构的.由此可见,Heegaard分解的映射类群的是十分有用的.然而,决定一个分解的映射类群常常极为困难,甚至已知的群是有限生成的例子都不算太多.我们想要找到更多映射类群是有限生成的Heegaard分解的例子.为此我们制定了下面的计划: .1.证明某些Heegaard分解的映射类群的有限生成性.因为距离大于3的分解的映射类群是有限群,所以我们将考虑距离不太大的情况. .2.研究Heegaard分解的连通和融合积对映射类群的影响. 我们将尝试证明,当已给的分解的映射类群都是有限生成的时,新得到的分解的映射类群仍是有限生成的.

Heegaard分解的映射类群，是近年来Heegaard分解理论中的新兴的研究对象.该群可以看作是(Heegaard)曲面的映射类群的子群，同时也与三维流形的映射类群着密切联系。 众所周知，曲面的映射类群是有限生成的，人们自然也想知道Heegaard分解的映射类群是否也如此？ 人们普遍猜测该群都是有限生成的，但是目前所知的结果却不多，比如三维球面上的标准的亏格为g的分解的映射类群的有限生成性尚不清楚。 本项目主要研究了两类问题：（1）如果两个Heegaard分解的映射类群都是有限生成的，那么它们的连通和的映射类群是否也是有限生成的？（2）经过稳定化之后，Heegaard分解的映射类群的有限生成性是否还保持。 对于第一个问题，本项目得到结果：当其中一个分解充分复杂，而另一个分解是平凡的时候，它们的连通和的映射类群是有限生成的。对于第二个问题，我们研究了柄体的平凡的Heegaard分解经过稳定化后的情况。此情况已经由Scharlemann研究过，我们发现如果能证明某个与柄体相关的单纯复形是单连通的，则能给出一个与Scharlemann本质不同的且更简单的证明。.纽结的宽度是纽结的一个重要的不变量，它最初是由Gabai定义的。纽结的宽度可以使我们定义纽结的瘦位置，而瘦位置在很多关于纽结的研究中（比如Gabai关于性质R猜想的证明和Gordon-Luecke关于纽结补猜想的证明等）起重要作用。纽结理论中有一类重要的问题是卫星结和伴随结的不变量关系如何。Zupan提出了一个猜想：若K是以为J伴随的卫星结，且n是环绕数，则w(K)>=n*w(J) ，这里w(.)表示纽结的宽度。项目负责人与他人合作，证明了该猜想。