非全局Lipschitz条件下的随机微分方程数值强收敛性研究

The drift and diffusion coefficients are required to be globally Lipschitz in the standard convergence theory of numerical methods for stochastic differential equations. In the scientific and engineering filed including finance, chemistry and ecology, however, plenty of stochastic differential equation models do not meet such stringent conditions. In this case the standard convergence theory does not apply. The present project is to investigate strong convergence of numerical schemes for several stochastic differential equations with non-globally Lipschitz coefficients. First of all, efficient tamed schemes will be constructed for stochastic ordinary differential equations with coefficients satisfying a coupled condition and their strong convergence will be studied. Furthermore, the project will be concerned with strong convergence of algorithms preserving non-negativeness of a class of financial models with jumps. Finally, strong divergence of the linear implicit Euler method will be investigated for a parabolic stochastic partial differential equation with non-globally Lipschitz coefficients. Further the strongly convergent method will be proposed in this setting. The project aims at providing strongly convergent numerical schemes for stochastic differential equations with non-globally Lipschitz coefficients and establishing their strong convergence theory. Moreover, the project offers a guide to construct practical and efficient numerical algorithms and is thus significantly meaningful in both theoretical and practical sense.

随机微分方程数值方法的经典收敛性理论要求方程的漂移项系数和扩散项系数均满足全局Lipschitz条件。然而，在金融、化学、生态学等科学与工程领域中，许多重要的随机微分方程模型并不满足这个苛刻的条件，经典收敛性理论已不再适用。在一定的非全局Lipschitz条件下，本项目拟研究几类随机微分方程的数值方法强收敛性：针对一类满足耦合条件的随机常微分方程，构造高效的驯服数值方法并研究其强收敛性；针对一类带跳的金融数学模型，提出保非负性的实用数值算法并研究其强收敛性；针对一类抛物型随机偏微分方程，在适当的非全局Lipschitz条件下研究线性隐式Euler方法的强收敛性，并在此基础上提出强收敛的数值算法。本项目旨在为漂移项系数和扩散项系数不全满足全局Lipschitz条件的随机微分方程提供强收敛的数值算法并建立其强收敛性理论，为构造实用、高效的数值算法提供指针，具有重要的理论意义和广泛的应用前景。

本项目旨在研究非全局Lipschitz条件下的随机微分方程数值方法的强收敛性。首先，针对一大类带非全局Lipschitz条件系数的随机常微分方程构造了一个具有指数可积性的数值算法并证明了其强收敛性。其次，针对一类带跳的随机利率模型构造了一个保正新算法，并证明了其强收敛阶为1。最后，项目组在随机偏微分方程(SPDE)的数值分析课题上，取得了若干重要成果。针对一类半线性随机波方程，项目负责人等构造了两个加速的指数Euler谱方法。与现有的强逼近数值方法相比，新提出的两个数值算法在时间上具有更高的收敛阶，打破了求解随机波方程数值算法的收敛阶障碍；针对乘性噪声驱动的非线性随机波方程，项目负责人等人研究了有限元随机三角方法全离散格式的强收敛率和数值格式对原系统迹公式的逼近误差估计；针对半线性抛物型SPDE和随机随机波方程，项目负责人等系统深入地研究了指数时间半离散方法的强收敛和弱收敛误差。特别地，在现有文献中，Malliavin微积分等复杂的分析技巧是非线性抛物型SPDE数值方法弱收敛性研究最常规的手段。而项目负责人对指数Euler方法提供了另一条研究思路，避免了Malliavin微积分工具。这些研究成果都发表在享有较高国际学术声誉的计算数学或动力系统领域主流刊物，进一步丰富了随机微分方程数值分析理论，为构造实用、高效的数值算法提供参考，具有重要的理论意义和广泛的应用前景。