微分方程周期解问题的全局收敛性算法研究

In this project, we apply appropriate perturbations to the constraint functions which form the constraint region satisfying different cone conditions, and thereby develop a non-interior point homotopy path-following algorithm. By using this new algorithm, we are able to choose initial points in the whole n dimensional space. This can improve the computational efficiency of the algorithm greatly. Then for the periodicity problems of two class of important differential equations, i.e., Duffing and Liénard differential equations, we introduce some new ideas and adopt different techniques to make the non-interior point homotopy path-following algorithm be able to solve these two class of periodicity problems, removing the convexity assumptions on Liapunov functions of the results in the literature completely and thus using the second method of Liapunov better than before. At the same time, we also provide a new efficient globally convergent algorithm to solve the periodicity problems of differential equations in this project.

本项目拟针对满足不同锥条件的约束区域所对应的约束函数进行合理的扰动，进而提出非内点同伦路径跟踪算法，使得初始点能够在整个n维空间内任意选取，大大提高算法的计算效率。在此基础上，本项目再针对两类重要的微分方程周期解问题，即Duffing微分方程和Liénard微分方程周期解问题，寻求一些新的思想，采取不同的处理技巧，使得非内点同伦路径跟踪算法能够求解这两类微分方程周期解问题，彻底去掉已有结果对李雅普诺夫函数的凸性要求，以便更好地应用李雅普诺夫第二方法，同时也为微分方程周期解问题提供一个新的高效的全局收敛性算法。

同伦内点算法能够在非凸集合上给出许多重要定理的构造性证明，目前已经成为处理诸多非线性问题的一种重要方法。本项目提出了一种非内点同伦路径跟踪算法，扩大了同伦内点算法的初始点的选择范围，大大提高了算法的计算效率；利用这种新的同伦方法求解了两类重要的微分周期解问题，给出了周期解存在性的构造性证明，去掉了已有结果的一些凸性要求，能够更好地应用李雅普诺夫第二方法；得到了二维不可压磁流体方程柯西问题的整体强解的存在性；提供了求解无界域上的不动点问题的一种高效的全局收敛性算法。本项目的研究成果是对非线性问题的数值计算领域有关方法的有益的补充和发展。本项目把周期解问题转化为等价的非线性系统，提出非内点法的思想来处理这些系统，这是本项目的创新之处，具有一定的理论意义。