两类随机发展方程的数值分析

Stochastic evolution equations can find a wide range of applications in scientific fields including finance, chemistry, biology and so on. The present project is devoted to numerical analysis of two types of evolutionary stochastic partial differential equations (SPDEs). For parabolic SPDEs driven by both additive and multiplicative noise, we study strong and weak convergence rates of space semi-discretization and full-discretization schemes under certain non-globally Lipschitz conditions. Meanwhile, under certain non-globally Lipschitz conditions we identify strong and weak convergence rates of space semi-discretization and full-discretization of stochastic wave equations driven by both additive and multiplicative noise. For parabolic SPDEs and damped stochastic wave equations with ergodicity, we investigate approximations of the invariant measure and obtain their convergence rates. The current project aims to provide efficient convergent numerical schemes for two types of SPDEs and establish numerical theory. The research results are significantly meaningful in both theoretical and practical sense.

随机发展方程在金融、化学、生物学等众多科学领域有广泛的应用。本项目拟研究两类发展型随机偏微分方程(SPDE)的数值方法。针对加性噪声和乘性噪声驱动的抛物型随机偏微分方程，在一类非全局Lipschitz条件下研究空间半离散和时空全离散格式的强和弱收敛性；针对加性噪声和乘性噪声驱动的随机波方程，在一类非全局Lipschitz条件下研究空间半离散和时空全离散格式的强和弱收敛性；针对具有遍历性的抛物型随机偏微分方程和带阻尼的随机波方程，研究数值方法对方程唯一不变测度的逼近并分析不变测度逼近阶。本项目旨在为两类随机发展方程提供高效数值方法并建立相关数值分析理论。研究成果将进一步丰富随机发展方程数值分析的内涵，具有重要的理论意义和广泛的应用前景。

本项目聚焦于抛物型与双曲型两类非线性随机偏微分方程的数值方法研究，在两类随机偏微分方程数值方法设计与理论分析取得一系列重要研究成果。针对时空白噪声驱动的随机Allen-Cahn方程，通过引入驯服因子提出一个加速的指数Euler型显式格式，证明了其具有更高的强收敛率；研究了随机Allen-Cahn方程的有限元空间半离散与时空全离散数值方法并获得其最优强收敛率；针对无穷维Q-Wiener过程驱动的相场模型随机Cahn-Hilliard方程，证明了有限元空间半离散与时空全离散数值方法的最优强收敛率；建立了无穷维分数布朗运动驱动的抛物型随机偏微分方程最优正则性理论，给出了时空全离散数值方法的最优强收敛率；针对遍历的抛物型随机偏微分方程，提出一个指数Euler型显式时间离散格式，给出了不变测度的数值逼近收敛阶；建立了无穷维Q-Wiener过程驱动的半线性强阻尼随机波方程最优正则性理论，获得了这类方程的有限元空间半离散与时空全离散数值方法的最优强收敛率；针对无穷维Q-Wiener过程驱动的半线性强阻尼随机波方程，提出加速的指数Euler型显式格式，证明其具有更高的强收敛率。上述成果都发表在享有较高国际学术声誉的计算数学或概率论领域主流刊物，形成了一定的国际学术影响。研究成果进一步丰富了非线性随机偏微分方程数值分析理论，具有重要的理论意义和广泛的应用前景。