高维微分系统的分支和可积性研究

Limit cycle bifurcation and integrability of differential systems are concerned with the famous 16th problem. They are important and still active in the qualitative theory of ordinary differential equation, and more they are also important subjects in the applications of many models. In comparison to the case of planar systems, there are more problems to be solved for high-dimensional systems. In this project,via developing the theories and methods of Hopf bifurcation, center-focus determination, nilpotent singular point and local integrability, and by generalizing the algorithms of singular point quantities in planar dynamical system, we study the subjects of high-dimensional dynamical systems,and put particular emphasis on limit cycle bifurcation in the neighborhood of the degenerate or non-degenerate singular points on center manifolds, and integrability of the systems with any resonant singular point. We will solve some key problems such as dimensional reduction and normalization of high-dimensional systems, computation and simplification of the singular point quantities, the highest order of the singular point, determination of integrable conditions, and finding invariant algebraic surfaces and first integrals or integrating factors. In this project, we will apply our proposed methods to solve specifically the bifurcation and integrability of several classes of typical ecological analytic systems and chaotic models, and investigate the travelling wave bifurcations of several specifical biological reaction-diffusion models with multiple populations or combined effect of multi-factors, so that the spatial and temporal variations of the biological populations can be revealed.

微分动力系统的极限环分支与可积性问题和著名的Hilbert第16问题密切相关，是微分方程定性理论中经典而不断发展的重要课题，也是微分模型应用研究的重要内容。相比平面系统而言，高维系统还有更多待解决的问题。 本项目将拓展平面系统Hopf分支、中心焦点判定、幂零奇点、局部可积性的理论方法，推广平面奇点量算法，研究高维微分系统中心流形上初等与退化奇点邻域内的多重极限环分支、中心焦点判定以及具有共振型奇点系统的可积性。拟解决的关键问题主要有：高维系统的降维与简化、奇点量的计算与化简、奇点最高阶数的确定、可积性条件的判定、不变代数曲面以及首次积分或积分因子的确定等。 本项目还将利用我们提出的方法解决几类高维生态系统模型和混沌模型的分支与可积性问题，对一些多种群、多因素联合作用的生物种群反应扩散模型进行行波解分支的研究，以揭示其生物种群时空变化规律。

本项目的研究分两部分。第一部分研究高维微分系统的极限环分支和可积性，在任意n维系统中心流形上的Hopf分支以及中心焦点的判定研究方面得到一套符号表示法与算法，使得研究更为便利；具体推导了四维多项式系统中心流形上奇点量的递推公式，该公式简便易用符号计算系统执行，这十分有利于四维系统极限环分支与可积性研究；研究三维系统奇点在退化条件下的极限环分支与可积性问题，得到了直接计算其奇点量的算法， 这为研究高维系统退化奇点问题与动力学性质提供了一个新的思路；研究三维任意共振p:-q:r微分系统的可积性问题，推导出了三维系统p:-1:r型共振奇点的双广义奇点量递推公式，并在具体应用中得到了好的结果（待发表）。 第二部分是研究生物种群反应扩散模型、广义Burgers-Huxley方程、非线性薛定谔方程等模型的分支、精确解、动力学性质等方面，也取得了一系列有意义的成果。. 对本项目的研究，共发表直接相关学术论文15篇，其中SCI收录7篇，EI收录1篇，3篇北大核心期刊论文；培养研究生4名，协助研究生3名。本项目所研究的问题是微分方程定性理论与非线性波方程理论中的重要的课题，本项目的研究成果对于微分方程的理论创新及应用乃至相关学科的发展均具有重要的意义。