狄氏过程的变换及相关问题的研究

本项目主要以狄氏型理论为工具，研究狄氏过程(联系于狄氏型的马氏过程)的变换、广义Feynman-Kac半群和非线性滤波问题。对于对称狄氏过程，我们将在现有的研究基础上，探讨Girsanov变换后所得的新过程的相关性质以及零能量可加泛函生成的广义Feynman-kac泛函的大偏差（渐进性）问题；对联系于非对称狄氏型、半狄氏型以及广义狄氏型的马氏过程，研究它们的Girsanov变换等相关问题，力图给出一般狄氏过程经过Girsanov变换后的分析特征，并在此基础上研究由一类无界变差可加泛函产生的广义Feynman-kac半群的强连续性；对于非线性滤波问题，我们将在一类随机环境和奇异信号下开展研究，希望得到滤波方程以及其解的唯一性和绝对连续性。

本项目研究狄氏过程(联系于狄氏型的马氏过程)的变换、广义Feynman-Kac半群等问题，包括对称狄氏型的相关理论的研究和力图将对称狄氏型理论中一些经典结论和工具推广到非对称狄氏型的情形。基本上完成了项目的计划要求，执行情况良好。主要取得了如下成果：1. 将关于零能量可加泛函的Nakao随机积分从对称狄氏型框架拓展到非对称狄氏型框架下，并给出了相应的伊藤公式及变换公式，从而推广了Ito积分及对称狄氏型框架下的相关结果。2.在非对称狄氏型框架下，用新的方法得到了一类由Fukushima分解的零能量可加泛函产生的广义Feynman-Kac半群强连续性的两个充分条件，这一新的结果扩大了对称狄氏型框架下的相应结果。3.得到了联系于半狄氏型扩散过程的Fukushima分解，并给出它的应用。4.研究了保正半群的一类变换，定义了保正半群的hĥ-变换，并给出了此类保正半群结合一对马氏过程的充要条件，找到了近似满足Hunt-假设一类新的马氏过程，从而扩展了前人关于近似满足Hunt-假设的过程范围。5.研究了几类对称狄氏过程的Girsanov-变换及其联系的新过程的性质（如暂留、常返、不可约等）；研究了变换后对应新过程的轨道性质；研究了由零能量可加泛函产生的渐近性问题。6.中德随机分析国际会议大会特邀报告1次；三亚国际数学论坛分组报告1次。7.本项目培养了7名研究生毕业，其中，博士2名，硕士5名（2名在读博士）。