非对称狄氏过程的可加泛函及相关问题的研究

The quasi-regular Dirichlet form theory is a modern mathematical theroy that was developed by Zhiming Ma and others. This theory builds up a bridge between classical analysis and probability. Presently, the theory and its applications are one of important branches in stochastic analysis. This project consists of three parts. In the first part, we will generalize stochastic integrals from symmetric Dirichlet processes to non-symmetric Dirichlet processes and semi-Dirichlet processes. The stochastic integrals will be applied to study Feynman-Kac transformations and Girsanov transformations of non-symmetric Markov processes，and will also be applied to study Fukushima's decomposition of non-symmetric (semi-) Dirichlet forms and Dirichlet boundary value problems of singular coefficients. In the second part, we will investigate the relationship between smooth measures and additive functionals of non-symmetric Dirichlet processes. For a smooth measure and a pair of dual processes, we will focus on the relationship of two additive functionals whose Revuz measures are the given smooth measure. We expect to characterize the Kato class of smooth measures in the non-symmetric Dirichlet forms case. We will also study the properties of additive functionals under measure transformations. In the third part, we will study large deviation of Dirichlet processes. We wish to first extend the results of symmetric Dirichlet processes to the non-symmetric case, and then apply these results to the research of the L^p independence of semi-groups. The resolvements of the above three problems will further perfect Dirichlet forms theory and large deviation theory.

拟正则狄氏型理论是由马志明院士等人建立起来的现代数学理论，该理论及其应用至今仍是现代随机分析领域的一个重要研究方向。本项目包括三方面内容：（1）将对称狄氏过程的随机积分扩展到非对称狄氏过程及半狄氏过程的情形。并把它应用于非对称马氏过程的Feynman-Kac变换、Girsanov变换、非对称（半）狄氏型的广义Fukushima分解、具有奇异系数的Dirichlet边值问题等问题的研究；（2）研究非对称狄氏型的光滑测度与可加泛函之间的关系，特别是同一个光滑测度关于一对对偶过程可加泛函之间的关系。期望能刻画非对称狄氏型kato-类光滑测度的特征，进一步研究狄氏过程的可加泛函在测度变化下的性质；（3）关于狄氏过程大偏差问题的研究，特别是零能量连续可加泛函的大偏差问题。我们期望将对称情形的结果推广到非对称情形，并将它应用于半群L^p独立性的研究。这三个问题的解决将进一步完善狄氏型理论及大偏差理论。

本项目研究非对称狄氏过程(联系着非对称狄氏型的马氏过程)的可加泛函及相关问题，包括随机积分、Fukushima分解、半群的强连续性、可加泛函的渐近性等。力图将对称狄氏型理论中一些经典结论和工具推广到非对称狄氏型甚至是半狄氏型的情形。基本上完成了项目的计划要求，执行情况良好。主要取得了如下成果：1. 将关于零能量可加泛函的Nakao随机积分从非对称狄氏型框架拓展到半狄氏型框架下，并给出了相应的伊藤公式及变换公式。2. 去掉条件（S）， 得到了联系于半狄氏型的马氏过程的Fukushima分解。3. 得到了一个强连续压缩次马氏半群所对应的一对无穷小生成算子的表达式。4.定义了狄氏型空间上的映射，并给出了映射的性质。5. 得到非对称狄氏型框架下大偏差的一些结果。6. 在半狄氏型框架下，得到了一类由Fukushima分解的零能量可加泛函产生的广义Feynman-Kac半群强连续性的两个充分条件, 给出了局部零二次变差过程的表示。7.得到了一类随机动力系统的遍历性、带部分风险资产的最优投资问题。8. 给出了非对称狄氏型经Girsanov变换后联系的二次型的表达式及对偶的充要条件。9. 在德国比勒举办的Stochastic and real world model大会做特邀报告1次；在海口举办的IWMS2015做分组报告1次，在三亚数学论坛举办的“时序计量经济学国际研讨会”做分组报告1次，在日本关西大学举办的stochastic processes, analysis and mathematical physics会议做分组报告1次，在加拿大班夫举办的Connecting Women in Mathematics Across Canada会议做分组报告1次，在成都举办的IMS-SWUFE概率统计国际会议做分组报告1次。10.本项目培养了6名研究生，其中硕士3名毕业，3名在读博士。