图中因子存在性的新内容与新方法研究

图的因子存在性是图论中重要的基本问题，起源于哈密尔顿问题和欧拉问题；这方面问题众多，出现了许多经典的结论。本项目研究著名的Thomasson猜想（每个4连通线图是哈密尔顿的）；研究一些新因子存在性问题，主要包括界定分支个数的偶因子、界定最大度的连通偶因子、界定分支个数的2-因子存在性问题等。这些研究内容是经典问题的深化和拓展。一般来说，这些因子存在性问题在算法上是NP-完全的，从算法设计角度是没有解的（除非P=NP）。因此这些问题的研究既有重要理论意义也有实际意义。. 本项目研究上述因子存在性问题的经典度条件(Dirac型、Ore型、Fan型)、连通度条件、禁用子图条件，还将研究新型条件-支健条件；研究禁用子图的正反问题；研究图的收缩方法及闭包运算，可望在方法上有所突破；我们将寻求最好可能的条件，对图的极值理论具有重要理论价值。. 本项目预计解决一些因子存在性公开问题。

在我们的优势研究课题---哈密尔顿指数方面, 我们利用在之前的研究项目获得的哈密尔顿迭代线图的特征刻画基础上, 得到了确定一个图的哈密尔顿指数是NP-完全困难的结论, 这进一步说明了我们在这方面研究内容的重要性与困难性。 这方面我们得到了一些哈密尔顿指数的上,下确界, 而且也研究了与哈密尔顿指数相关的哈密尔顿连通指数, 2-因子指数, 偶因子指数的上确界及它们之间的一些关系; 我们也得到了超欧拉指数的稳定性的结论。同时我们也定义了新的闭包运算, 证明了偶因子在这个新的闭包运算下是稳定的结论, 并且将它应用在无爪图的哈密尔顿圈的存在性方面; 我们将生成欧拉子图的存在性研究推广为具有欧拉分支的偶因子存在性研究上, 得到了Catlin发明的收缩方法在具有界定分支个数的偶因子存在性研究上的有效应用,并且得到了一些基本结果, 相信它将在研究类似问题上会得到更多的应用; 在有界定度的连通偶因子研究方面, 我们也获得了一些开创性的研究结果, 扩展了一些已知结果; 我们的研究内容也涉及到图的生成迹存在性问题; 在哈密尔顿圈存在性方面,我们也获得了一些研究成果:一方面我们利用新的条件---局部不连通的顶点满足它在一个有界定非奇异边导出圈的条件来研究无爪图的哈密尔顿圈的存在性,同时也用来研究无爪图2-因子的存在性。 首次利用边在小圈上的条件来研究无爪图的2-因子存在性, 也得到了一些结果; 利用支健条件得到了使得线图有界定分支个数的2-因子存在性条件; 我们也给出了Thomassen猜想等价猜想:我们得到这个猜想等价于对于任意的正整数k, 具有k单圈性质的4连通的图是哈密尔顿的; 我们给出了图的两个运算, 使得它的线图2-因子存在性在这两个运算下保持不变, 并将这个应用于无爪图的2-因子存在性方面的研究, 得到了更加广泛的2-因子存在性条件; 我们考虑了著名的Chvátal-Erdös条件的弱化问题: 通过界定最大独立集合的个数弱化了Chvátal-Erdös条件(保证原来的结论依然成立)。