机械结构系统中无限维非线性全局动力学理论研究

With remarkable development of science and technology, studies on the dynamic problem of low-dimensional and high-dimensional nonlinear dynamical systems can not satisfy the requirement in some of practical engineering. In order to obtain the complicated dynamical problem of nonlinear system more accurately, we need to consider infinite-dimensional nonlinear dynamical systems. In this project, the theory of infinite-dimensional global dynamics is improved and extended to analyze more complicated dynamical behaviors of multivariable infinite-dimensional dynamic system. With the aid of the center manifold theorem, the center invariant manifold is obtained. The dynamical characteristics of the infinite-dimensional dynamic system are investigated both inside and outside of the invariant manifold. Darboux transformation is conducted to study the homoclinic (heteroclinic) structure and its analytical form. Moreover, the geometric method and global perturbation technique are applied to study the structure of the measurement, further to obtain the criteria of global bifurcations and chaotic motions. The improved theory of infinite-dimensional global dynamics is employed to analyze the complicated dynamics of moving belt system and string-beam coupled system. The research will provide theoretical development and application in practical engineering.

在工程系统中，有许多问题的数学模型和动力学方程都可用以无限维非线性系统来描述，无限维非线性系统的复杂动力学、全局分岔和混沌动力学，如何研究这些工程实际问题所建立的无限维非线性动力学模型是工程领域中非常重要的研究课题。本项目要改进和推广无限维全局动力学分析理论，使得该理论可以分析更加复杂的多变量无限维非线性动力系统的全局动力学行为。通过中心流形定理计算和推导出系统的中心不变流形，分别在不变流形内部和不变流形外部分析系统的动力学特性，结合Darboux变换构造系统的同宿（异宿）结构，并得到同宿（异宿）结构的解析表达式，利用几何方法和全局摄动法研究系统的空间度量结构，得到系统发生全局分岔和混沌运动的判据。利用改进和推广的无限维全局动力学分析理论开展传动带系统和弦-梁耦合系统的复杂动力学行为研究，建立有利于实际工程应用的混沌运动的判定准则和理论。

目前对无限维非线性系统全局分岔和混沌动力学的研究理论还不是很多，国际上处于发展阶段，国内尚处于起步阶段，由于无限维非线性系统的求解非常困难，所以其全局动力学问题仅局限于对一些经典波动方程的研究。对于无限维非线性动力系统来说，其研究难度远比高维和低维非线性动力系统要大得多，不仅理论方法上有困难，几何描述和数值计算都有困难。无限维非线性系统，从理论上讲可以用中心流形理论和惯性流形理论对无限维非线性系统进行降维处理，使系统的维数降低，但是降维后系统的维数仍然很高，并且无限维非线性系统中的稳定流形和不稳定流形的几何结构难于直观的构造和描述，其后续研究仍然非常困难，因此发展处理无限维非线性动力学系统的理论研究方法是非常重要和迫切的。本项目突破了无限维系统理论分析的局限性，利用中心流形定理计算和推导出系统的中心不变流形，分别在不变流形内部和不变流形外部分析系统的动力学特性，进而构造出系统的同宿结构，又借助于两次测量：全局摄动和几何测量得到系统发生全局分岔的临界条件。本项目解决了全局动力学中的两个关键科学问题：(1)判断多变量无限维非线性动力系统中是否存在同宿（异宿）结构。(2)给出多变量无限维非线性动力系统全局分析理论中空间度量的几何结构。利用了动力学领域和数学领域中的理论和方法，得到了多变量无限维非线性系统发生全局分岔的阈值和空间几何结构。这些研究成果对力学、数学、以及机械等学科的发展都具有重要的重要的学术价值和科学意义，在航天器轨道预测技术、微纳电子技术以及无线通信技术等工程领域都具有重要的应用前景和实际应用价值，对推动无限维动力学的发展产生了一定的社会影响。