平面退化系统及Lienard系统分支问题研究

The degenerate systems and Lienard systems are widely used in many subjects. In this project we will study the limit cycle bifurcations of these two kinds of systems. Our main contents are as follows.. 1. For degenerate systems with higher order (≥2) nilpotent singular points (nilpotent cusps or nilpotent saddles) we will study their homoclinic bifurcations，double homoclinic bifurcations, heteroclinic bifurcations and double heteroclinic bifurcations. Especially, we can consider several kinds of bifurcations together, and then get a new method of obtaining limit cycles. .2. We have studied some kinds of Lienard systems with same perturbations before. Their unperturbed systems are different. In the 24 perturbed parameters a_i(i=0,1,…,23) we found four of them which have no influence on the number of limit cycles and appear regularly. We hope to prove that the regularity is right not only for 24 parameters but also arbitrary finite parameters. This work will boost the study of Lienard systems. .3. We will study the homoclinic bifurcations and heteroclinic bifurcations of piecewise smooth systems with higher order nilpotent singular points (nilpotent cusps or nilpotent saddles) in their subsystems. Especially, we hope the idea of considering several kinds of bifurcations can be generalized to non-smooth systems to obtain more limit cycles.

退化系统和Lienard系统具有广泛的应用背景，本项目中我们将对这两类系统的分支问题进行研究。主要包括：.1.研究含高阶(≥2阶)幂零尖点或幂零鞍点的退化系统的同异宿分支和双同异宿分支。特别的，还可综合考虑多种分支，以得到更多的极限环。.2.通过前期对几类具有相同扰动的多项式Lienard系统进行研究, 在其前24个扰动参数a_i(i=0,1,…,23)中找到了四个不影响极限环个数的参数, 且它们按规律出现。我们希望将此仅适用于24个参数的规律性推广到适用于任意有限个扰动参数，这必将推动Lienard系统分支问题的研究。.3.对子系统含高阶幂零尖点或幂零鞍点的分段光滑系统，研究其在扰动下的同异宿分支问题。特别的，拟将光滑系统中综合考虑多种分支的思想推广到非光滑系统，以期在极限环个数上获得更好的结果。.上述问题都是该领域的前沿问题，这些研究结果将为分支理论研究提供更丰富的理论和方法。

Lienard系统和退化系统具有广泛的应用背景，在本项目中我们主要研究了这两类系统的分支问题。主要研究内容为：1. 给出了Melnikov函数在含任意阶幂零鞍点的双同宿环和同宿环附近的展开式,以及在含幂零鞍点和双曲鞍点的异宿环、含幂零尖点和双曲鞍点的复合环附近的展开式，并进一步研究了同异宿分支、复合环分支等分支问题；给出了含幂零中心的三次近哈密顿系统在幂零中心附近极限环最大个数的新的下界；2.对一般的多项式Lienard系统，研究了扰动参数对极限环个数的影响，在理论上统一证明了某些参数不影响系统的极限环个数，且证明了这些参数出现的规律性.3.对子系统含幂零奇点的分段光滑系统，给出了Melnikov函数在推广的中心附近的展开式，利用展开式中的系数进一步研究了系统的极限环分支问题，给出了系统在推广的中心附近的极限环个数..这些结果为进一步研究极限环分支问题提供了更丰富的理论和方法.